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Diferencia entre función creciente creciente y monótona

Solución:

Estoy acostumbrado a lo siguiente: $ f $ es

creciente iff $ x le y Rightarrow f (x) le f (y) $

estrictamente creciente iff $ x

decreciente y estrictamente decreciente: similar, con las desigualdades para $ f $ invertidas.

Monotónico: aumentando o disminuyendo

estrictamente monótona: estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

En particular, aumentar monótonamente es lo mismo que aumentar, aumentar estrictamente monótonamente lo mismo que aumentar estrictamente.

(En general, siempre hay algo de libertad cuando se trata de definiciones, por eso escribí ‘Estoy acostumbrado a’. En caso de que esté leyendo un libro de texto sobre análisis, el autor debe definir estos términos y luego ceñirse a ellos).

Como siempre lo he entendido (y varias referencias en línea parecen ir con esta tradición) es que cuando uno dice que una función aumenta o aumenta estrictamente, quiere decir que lo está haciendo en algún subconjunto adecuado del dominio de la función. Decir que una función es monótona significa que muestra un comportamiento en todo el dominio. Es decir, una función que aumenta monótonamente no disminuye en su dominio y también es una función en aumento, ya que no disminuye en ningún subconjunto del dominio. De manera similar, una función estrictamente creciente de forma monotónica es una función que aumenta estrictamente en todo su dominio, en lugar de simplemente aumentar en un subconjunto del dominio (según se determina a partir de la prueba de aumento / disminución en Cálculo). Se pueden decir cosas similares sobre una función decreciente monótona versus una función decreciente. Esto se hace eco en gran medida de lo que dijo Thomas anteriormente, pero, tomando monótono como un término que se refiere al comportamiento de una función en todo el dominio, no es necesario decir “estoy acostumbrado”. Dicho esto, siempre se debe tener claro qué definiciones se están utilizando, ya que la coherencia no es el punto fuerte de un ser humano.

Sea $ y = f (x) $ una función diferenciable en un intervalo $ (a, b) $. Si para dos puntos cualesquiera $ x_1, x_2 in (a, b) $ tales que $ x1 lt x2 $, se mantiene la desigualdad $ f (x_1) leq f (x_2) $, la función se llama creciente en este intervalo.

Si se mantiene la desigualdad $ f (x_1) lt f (x_2) $, la función se llama estrictamente aumentando en el intervalo.

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