Solución:
En mi experiencia, el producto escalar se refiere al producto $ sum a_ib_i $ para dos vectores $ a, b in Bbb R ^ n $, y ese “producto interno” se refiere a una clase más general de cosas. (También debo señalar que el producto escalar real se extiende a un producto escalar complejo usando el conjugado complejo: $ sum a_i overline {b} _i) $.
La definición de “producto interno” a la que estoy acostumbrado es un tipo de forma biaditiva desde $ V times V a F $ donde $ V $ es un espacio vectorial $ F $.
En el contexto de los espacios vectoriales $ Bbb R $, la forma biaditiva generalmente se considera simétrica y $ Bbb R $ lineal en ambas coordenadas, y en el contexto de los espacios vectoriales $ Bbb C $, se toma como Hermetiano-simétrico (es decir, invertir el orden del producto da como resultado el conjugado complejo) y $ Bbb C $ lineal en la primera coordenada.
Los productos internos en general se pueden definir incluso en espacios vectoriales de dimensión infinita. El ejemplo integral es un buen ejemplo de eso.
El producto escalar real es solo un caso especial de un producto interior. De hecho, es incluso positivo definitivo, pero los productos internos generales no tienen por qué serlo. El producto escalar modificado para espacios complejos también tiene esta propiedad definida positiva y tiene la simétrica hermitiana que mencioné anteriormente.
Los productos internos se generalizan mediante formas lineales. Creo que he visto a algunos autores usar “producto interno” para aplicarlos también, pero muchas veces sé que los autores se apegan a $ Bbb R $ y $ Bbb C $ y requieren una definición positiva como axioma. Las formas bilineales generales permiten formas indefinidas e incluso vectores degenerados (aquellos con “longitud cero”). La versión ingenua del producto escalar $ sum a_ib_i $ todavía funciona en cualquier campo $ Bbb F $. Otra cosa a tener en cuenta es que en muchos campos la noción de “definido positivo” no tiene ningún sentido, por lo que puede desaparecer.
Un producto escalar es un producto interno muy específico que funciona en $ Bbb {R} ^ n $ (o más generalmente $ Bbb {F} ^ n $, donde $ Bbb {F} $ es un campo) y se refiere a el producto interior dado por
$$ (v_1, …, v_n) cdot (u_1, …, u_n) = v_1 u_1 + … + v_n u_n $$
De manera más general, un producto interno es una función que toma dos vectores y da un número complejo, sujeto a algunas condiciones.
En mi experiencia, el producto interno se define en espacios vectoriales sobre un campo $ mathbb K $ (dimensión finita o infinita). Sin embargo, el producto escalar se refiere específicamente al producto de vectores en $ mathbb R ^ n $.