Luego de mirar en varios repositorios y páginas al concluir descubrimos la resolución que te mostraremos ahora.
Solución:
En primer lugar, la continuidad se define en un punto $c$, mientras que la continuidad uniforme se define en un conjunto $A$. Eso hace una gran diferencia. Pero su interpretación es bastante correcta: el punto $c$ es parte de los datos y se mantiene fijo como, por ejemplo, $f$ mismo. En términos generales, la continuidad uniforme requiere la existencia de un soltero $delta>0$ que funciona para todo el conjunto $A$, y no cerca del único punto $c$.
La diferencia está en el orden de los cuantificadores.
- Continuidad:
Para todo $x$, para todo $varepsilon$, existe tal $delta$ que algo algo.
- Continuidad uniforme:
Para todo $varepsilon$, existe tal $delta$ que para todo $x$ algo algo.
Para que algo sea continuo, puede marcar “un $x$ a la vez”, por lo que para cada $x$, elige un $varepsilon$ y luego encuentra un $delta$ que depende tanto de $x$ como de $ varepsilon$ de modo que $|f(x)-f(y)| Si desea una continuidad uniforme, debe elegir un $varepsilon$, luego encontrar un $delta$ que sea bueno para TODOS los valores de $x$ que pueda tener. Como puede ver, para $f(x)=1/x$, tal $delta$ no existe. La sutil diferencia entre estas dos definiciones se hizo más clara para mí cuando leí sus definiciones de secuencia equivalentes. Primero tomemos la definición de una función continua. Definición Una función $f: DtomathbbR$ se ha dicho continuo en el punto $x_0$ en $D$ siempre que para cada secuencia $x_n$ en $D$ que converge a $x_0$la secuencia de imágenes $f(x_n)$ converge a $f(x_0)$. Ahora compare esto con una función uniformemente continua. Definición Una función $f: DtomathbbR$ se ha dicho uniformemente continuo siempre que para dos secuencias cualesquiera $y_n$ y $x_n$ en $D$ tener la propiedad Observe cómo la segunda definición menciona que no hay convergencia en un punto, sino que dos secuencias tienden hacia el mismo valor ya la misma velocidad. Estas sucesiones pueden ser sucesiones divergentes cuando están solas, pero sus términos pueden volverse arbitrariamente cercanos entre sí. El ejemplo clásico es $f:mathbbRamathbbR, f(x)=x^2$ es continua pero no uniformemente continua. Toma las dos secuencias $y_n=\sqrtn^2+1$ y $x_n=n$. (Nota, ambas secuencias divergen). toma el $lim_ntoinftyy_n-x_n$y resuelve multiplicando numerador y denominador por su conjugado. Recuerda algo, que puedes optar por la opción de esclarecer si hallaste tu rompecabezas justo a tiempo.
$$lim_ntoinfty(y_n-x_n)=0,$$
entonces
$$lim_ntoinfty(f(y_n)-f(x_n))=0$$
$$lim_ntoinfty(sqrtn^2+1-n)=lim_ntoinftyfracn^2 +1-n^2 sqrt n^2+1+n=lim_ntoinftyfrac1sqrtn^2+1+n=0.$$
Ahora, mirando $lim_ntoinftyf(y_n)-f(x_n)$ obtenemos lo siguiente
$$lim_ntoinfty(sqrtn^2+1)^2-n^2=lim_ntoinftyn^2+1-n^2 =1$$
Así que esto va en contra de la definición de continuidad uniforme. Necesitamos que la diferencia de valores de funciones también vaya a $0$también, para que sea uniformemente continuo.