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Solución:
Si decimos que una solución es débil / fuerte / clásico / viscoso, los siguientes aspectos se refieren (o más):
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Cómo obtenemos la solución.
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La regularidad de la solución (qué tan fluida es esta solución, integrabilidad, diferenciabilidad).
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La solución satisface la ecuación en qué sentido.
Solución débil:
- Podemos obtener la solución mediante la formulación de Ritz-Galerkin: encuentre el minimizador del siguiente funcional cuadrático en un espacio de Hilbert apropiado, $$ mathcal F (u) = frac 1 2 int _ Omega | nabla u | ^ 2 – int _ Omega fu. $$
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La suavidad depende de los datos del lado derecho. Si $ f en H ^ – 1 $, entonces $ u en H ^ 1 $. Si $ f en L ^ 2 $, entonces $ u en H ^ 2_ loc $. Además, si $ Omega $ es $ C ^ 1,1 $, tenemos una solución $ H ^ 2 $ $ u $ globalmente.
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La solución satisface la ecuación en sentido de distribución (vea la siguiente explicación).
Por qué “débil”:
El término “débil” normalmente se refiere al 2 y al 3: La solución $ u $ está solo en $ H ^ 1 $ en la configuración más general, esto significa que $ u $ es el único diferenciable una vez, observe $ – Delta $ tiene una segunda derivada parcial. Sin embargo, la solución fuerte tiene el doble de diferenciabilidad; normalmente, si decimos que $ u $ es una solución sólida, queremos decir que $ u $ tiene $ W ^ 2, p $ – regularidad (consulte Gilbarg y Trudinger). La solución satisface la ecuación solo en la formulación “débil” $$ int _ Omega nabla u cdot nabla v , dx = int _ Omega fv , dx quad forall v in V , tag 1 $$ donde $ V $ es cierto espacio de Sobolev.
Dos formas de obtener esta forma débil: primero es escribir qué condición debe cumplir el minimizador de $ mathcal F (u) $: si $ u $ es un minimizador, entonces $$ lim _ epsilon to 0 frac d d epsilon mathcal F (u + epsilon v) = 0 $$ y la forma débil de la ecuación de Euler-Lagrange es (1).
Otro es multiplicar la ecuación original por una función de prueba y luego la integración por partes. La intuición detrás de esto debería ser el teorema de representación de Riesz (al menos para mí tiene sentido), tenemos: $$ langle (- Delta) u, v rangle = l_u (v) = (u, v) _ V , $$ del operador diferencial $ – Delta $ $ a $ lineal funcional $ l_u $ $ a $ representación usando el producto interno $ ( cdot, cdot) _V $. El producto interno $ ( cdot, cdot) _V $ en este espacio de Hilbert $ V $ es el lado izquierdo de (1), si hacemos que el espacio de la función de prueba tenga una condición de frontera cero (podemos usar la desigualdad de Poincaré para probar la equivalencia del producto interno estándar $ H ^ 1 $). Si ha tomado algún curso de PDE numérico en elementos finitos, el profesor presentaría el teorema de Lax-Milgram, y Lax-Milgram se basa en Riesz.
Por qué la forma débil es útil en el método de elementos finitos:
Respuesta corta: la forma débil es muy útil porque nos ayuda a formular un sistema de ecuaciones lineales que se puede resolver por computadora.
Respuesta larga: lo esencial del enfoque tipo Galerkin es que estamos explotando el hecho de que el espacio de Hilbert de dimensión infinita tiene un conjunto de bases $ phi_i _ i = 1 ^ infty $, si podemos expanda $ u $ en esta base: $$ u = sum_ i = 1 ^ infty u_i phi_i, $$ donde $ u_n $ es un número, vuelva a (1) y deje que la prueba función $ v $ ejecutar a través de todos $ phi_j $ (misma función, subíndice diferente): $$ int _ Omega nabla ( sum_ i = 1 ^ infty u_i phi_i) cdot nabla phi_j , dx = sum_ i = 1 ^ infty u_i int _ Omega nabla phi_i cdot nabla phi_j , dx = int _ Omega f phi_j , dx quad forall j = 1,2, ldots. tag 2 $$ Tenemos un sistema de ecuaciones lineales de dimensión infinita: $$ AU = F, $$ donde $ A_ ji = displaystyle int _ Omega nabla phi_i cdot nabla phi_j , dx $, $ U_i = u_i $ y $ F_j = displaystyle int _ Omega f phi_j , dx $.
El método de elementos finitos esencialmente elige un dimensión finita subespacio $ V_h subconjunto V $ (puede que no sea un subespacio, por favor busque el método de Galerkin discontinuo en google), de modo que podamos aproximar la solución en este subespacio de dimensión finita $ V_h $! La suma en (2) ya no tiene un límite superior infinito, en su lugar hay un número finito de corridas de $ phi_i $ y $ v $ desde $ phi_1 $ a $ phi_N $, por lo que el sistema lineal generado sigue siendo $ AU = F $, pero esta vez, solo tiene ecuaciones de $ N $, y podemos usar una computadora para resolverlo.
En primer lugar, es fundamental para el método de elementos finitos porque sin esa formulación, el método numérico correspondiente para resolverlo sería más como la diferencia finita.
Cuando consideramos una formulación débil de un PDE, estamos buscando deliberadamente soluciones con menos condiciones de regularidad que las que impone la forma clásica. Estamos tratando de incluir en la clase de solución para nuestro PDE los candidatos que casi satisfacen la ecuación excepto, por ejemplo, por tener una discontinuidad en la derivada o un salto de dirac. Sería muy interesante tener una definición de solución y, en consecuencia, una teoría de derivación débil correspondiente que nos permita incluir estos casos en nuestro conjunto de soluciones (con frecuencia tienen un interés físico). Es por eso que se pasa a la forma débil donde las derivadas se toman en el sentido de las distribuciones (también llamado sentido débil).
Puede ver una distribución como una extensión de la definición de funciones. Ver definición.
Otro ejemplo de issu que la teoría de la distribución permite tratar es cuando el término no homogéneo y / o las condiciones límite no son regulares. Les doy un ejemplo de una EDO real a resolver en el sentido de distribución.
Considere $ y ‘+ 2xy = delta_0 $, donde $ delta_0 $ es una distribución (delta de dirac) la teoría clásica no cubre esta ecuación pero tiene una solución de la forma $ (H + c) e ^ x ^ 2 $ (donde $ H $ es la función Heavside)
En forma débil, la ecuación se escribe: $$ forall phi in mathcal C_c ( mathbb R), int _ mathbb R [ 2xy(x)phi(x)-y(x)phi ‘(x) ]~ dx = phi (0) $$
Disculpas por revivir una vieja pregunta, pero siento que las respuestas no atraen lo suficiente intuicion fisica por lo que está logrando la “forma débil”.
Considere los sistemas en el mundo real donde en una interfaz puede haber cambios abruptos en las propiedades del material. Estos sistemas físicos reales pueden violar las limitaciones de suavidad de un PDE. Se podría decir que el PDE clásico para un sistema es demasiado estricto cuando se mira un sistema físico real, arbitrario.
Un ejemplo simple es la ecuación de difusión de temperatura:
$$ q (x) = – parcial_x T (x) $$
donde $ q $ es el flujo de calor para un perfil de temperatura $ T $. La conservación del flujo de calor es:
$$ parcial_xq (x) = 0 $$
que incluye la segunda derivada de $ T $. En un límite donde dos materiales tienen diferentes coeficientes de conductividad térmica, la primera derivada de $ T $ se vuelve discontinua y la segunda derivada no se puede encontrar numéricamente.
Convertimos la ecuación en una ecuación integral para que nuestra solución sea menos estricta. Podríamos integrar todo el dominio de $ x $ para satisfacer la ecuación de conservación, pero esto no es estricto suficiente para coincidir con la realidad (ya que en realidad la ecuación integral debe ser igual a cero en cada punto, no simplemente a cero).
En cambio, dividimos la región de integración en segmentos.
$$ int_0 ^ 1 partial_xq (x) dx = 0 rightarrow int_0 ^ . 01 Particular_xq (x) dx = 0, int _ . 01 ^ . 02 Particular_xq (x) dx = 0, … int _ . 99 ^ 1 part_xq (x) dx = 0 $$
Dividir esto en más elementos bloquea la solución con más resolución. Esencialmente, la cantidad de elementos que tiene ahora define el rigor de su solución. En resumen, la forma débil nos permite representar y resolver sistemas físicos reales que no están representados de manera confiable sino con el rigor del PDE original.
Para obtener más detalles, recomendaría la serie de blogs de COMSOL, comenzando con La fuerza de la forma débil, donde describen la forma débil y cómo se implementa en su software.
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