Solución:
Gran pregunta. Canónico es más un término artístico que una palabra con una estricta definición matemática. A veces se utiliza como sinónimo de “natural” u “obvio”, aunque natural es otro modismo y obvio está en el ojo del espectador. Podrías pensar en ello como un significado independiente de cualquier elección.
Parece que ahora estás en una clase de álgebra abstracta, pero es de esperar que este ejemplo de álgebra lineal tenga sentido. Dejar $ V $ ser un espacio vectorial sobre $ mathbb {R} $ de dimensión $ n $. Al elegir una base $ (v_1, puntos, v_n) $, $ V $ es isomorfo a $ mathbb {R} ^ n $. ¿Qué es el isomorfismo? Se necesita $ v en V $, lo descompone en $ alpha_1 v_1 + puntos + alpha_n v_n $y asigna a $ v $ los $ n $-tupla $ ( alpha_1, puntos, alpha_n) $.
A través del isomorfismo a $ mathbb {R} ^ n $, todos los espacios vectoriales de la misma dimensión son isomórficos entre sí, pero no por una buena razón ni de forma natural. El isomorfismo depende de la elección de la base.
Dejar $ V ^ * $ ser el espacio dual para $ V $, es decir, el espacio vectorial de funciones lineales $ V a mathbb {R} $. Una vez que elija una base de $ (v_1, puntos, v_n) $, puedes formar una base dual $ ( lambda_1, puntos, lambda_n) $ de $ V ^ * $, tal que $ lambda_i (v_j) = delta_ {ij} $. Entonces $ V $ y $ V ^ * $ son isomorfos, pero no canónicamente.
Ahora deja $ V ^ {**} $ ser el espacio dual de $ V ^ * $. Elementos de $ V ^ {**} $ son funciones lineales de $ V ^ * $ para $ mathbb {R} $. Una forma de crear un mapa de este tipo es seleccionar $ v en V $ y enviar $ lambda en V ^ * $ para $ lambda (v) $. Esta asociación se extiende a un mapa lineal
$$ f colon V a V ^ {**}, f (v) ( lambda) = lambda (v) $$
Según un recuento de dimensiones, este mapa tiene que ser un isomorfismo. Y no tuvimos que elegir una base para crearlo. Por eso decimos que $ V $ y $ V ^ {**} $ están canónicamente isomorfo.
Demasiado para un comentario, pero hay algunas cosas que no veo mencionadas en las respuestas y comentarios existentes. “Natural” y “canónico” tienen significados relacionados pero algo diferentes en matemáticas. Esto no significa que todos los utilicen perfectamente de acuerdo con esos significados. Pero este es un uso común. Empezaré con “natural” primero, luego introduciré “canónico”.
El término natural en realidad tiene un significado matemático preciso, definido en la teoría de categorías. De hecho, la teoría de categorías se inventó originalmente para definir lo que significa “natural”. (El primer paso para estudiar algo es definirlo, y una vez que haya definido “transformaciones naturales”, puede usarlas para definir “natural” de manera más amplia).
Una comprensión intuitiva de “natural” es que significa que algo es definible por las propiedades genéricas de los objetos en la teoría bajo estudio, más que por las propiedades de los objetos específicos para los cuales se está definiendo la cosa.
Como ha comentado Matthew Leingang, los espacios vectoriales reales de dimensión finita son isomorfos a sus espacios duales. Pero para tener tal isomofismo, tenemos que elegir una base para el espacio vectorial. El isomorfismo requiere algo específico de este espacio vectorial para poder definirlo. Pero no necesitamos eso para definir este isomorfismo. $ phi $ de un espacio vectorial con su segundo dual. Podemos definir simplemente a partir de la definición de “dual de un espacio vectorial real”: $$ forall v in V, f in V ^ *, phi (v) (f): = f (v) $$
Es por eso que $ phi $ es natural”.
Pero tenga en cuenta esta redacción de comadreja en la descripción anterior: “en la teoría en estudio”. Por eso, “natural” se convierte en una palabra de arte, más que de precisión: la mayoría de las veces, no nos molestamos en trazar la categoría que permite una definición precisa de “natural”. Eso queda para que nuestra audiencia lo deduzca. Verá, un pequeño ajuste de la categoría en discusión convertirá repentinamente lo antinatural en natural. En álgebra lineal de dimensión finita, $ V $ no es naturalmente isomorfo a $ V ^ * $. Pero en la teoría de matrices, un espacio de columnas es naturalmente isomorfo a un espacio de filas por transposición, aunque el espacio de filas es naturalmente isomorfo al dual del espacio de columnas.
Cuando alguien llama a algo “natural”, tienes que averiguar en qué contexto está hablando. Y aquí es donde entra “canónico”. Cuando llamamos a algo “canónico” cuando hay un contexto familiar (y obvio) donde es natural, pero estamos (normalmente) trabajando en un contexto más amplio donde no es natural. Por ejemplo, la base canónica de $ Bbb R ^ n $ es natural cuando se habla de matrices y espacios de columna, tan natural que ni siquiera lo mencionamos, a pesar de que subyace prácticamente en todo lo que hacemos. Pero si estamos considerando $ Bbb R ^ n $ como un ejemplo de un espacio vectorial, entonces no es natural, sino que está definido por propiedades de espacio no vectorial de $ Bbb R ^ n $. Entonces usamos “canónico” para describirlo en su lugar.
Estoy de acuerdo con @MatthewLeingang en que esta es una excelente pregunta. Un isomorfismo canónico es aquel que viene junto con las estructuras que está investigando y no requiere elecciones arbitrarias. Aquí hay otro ejemplo del álgebra abstracta.
Siempre que tenga un homomorfismo grupal sobreyectivo $ sigma: G a H $ hay un isomorfismo natural
$$ phi: G / ( ker sigma) a H $$
definido por la configuración $ phi (C) = sigma (g) $ para cualquier $ g en C $. Aquí $ C $ es una clase lateral del núcleo de $ sigma $ y el valor de $ phi $ es independiente de la elección de $ g en C $.
Cuando $ sigma $ no es sobreyectiva, esto define un homomorfismo inyectivo canónico.