El paso a paso o código que hallarás en este post es la solución más rápida y efectiva que encontramos a esta inquietud o dilema.
Solución:
Una consecuencia de la definición de una transformación lineal es que toda transformación lineal debe satisfacer $$ T(0_V)=0_W $$ donde $0_V$ y $0_W$ son los vectores cero en $V$ y $W$, respectivamente. Por lo tanto, cualquier función para la que $T(0_V)neq 0_W$ no puede ser una transformación lineal.
En su segundo ejemplo, $$ TBig(beginbmatrix0\0endbmatrixBig)=beginbmatrix0\1endbmatrixneqbeginbmatrix 0\0endbmatrix$$ por lo que esto te dice de inmediato que $T$ no es lineal.
Esta no es una transformación lineal.
En efecto,
$T(1,0)+T(1,0)=(1,1)+(1,1)=(2,2)$
Por otro lado
$T(2,0)=(2,1)neq (2,2)$
Para que T sea lineal, estos tendrían que ser iguales.
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