Después de investigar con especialistas en este tema, programadores de varias áreas y maestros hemos dado con la respuesta al problema y la compartimos en este post.
Solución:
Tal función no puede existir. Sean $A = beginpmatrix 1 & 0 \ 0 & 1 \ 0 & 0endpmatrix$ y $B = beginpmatrix 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 finpmatrix$. Entonces, dado que tanto $AB$ como $BA$ son cuadrados, si existiera una función $D$ con las propiedades 1-3 establecidas, beginalign beginsplit 1 &= det begin pmatrix 1 & 0 \ 0 & 1 endpmatrix = det(BA) = D(BA) = D(B)D(A) \ &= D(A)D(B) = D( AB) = det(AB) = det beginpmatrix 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 endpmatrix = 0. endsplit end alinear
Esta extensión de determinantes tiene las 4 propiedades si A es una matriz cuadrada, y retiene algo attributes de los determinantes de lo contrario.
$$|A|^2=|A^TA|$$
Si está dispuesto a romper un poco las reglas, esto tiene una interpretación geométrica válida y útil. Si tiene un espacio definido en una dimensión superior a la suya, aún puede devolver el área que define.
Dado que el cuadrado del determinante de una matriz se puede encontrar con la fórmula anterior, y debido a que esta multiplicación se define para matrices no cuadradas, podemos extender los determinantes a las matrices no cuadradas. Por ejemplo, tome la matriz A de 3 anchos definida con vectores columna, xy y z, donde cada uno tiene n componentes:
$$A=beginpmatrixx|y|zendpmatrix$$
Puede puntear cada uno de los vectores entre sí multiplicando a la derecha A por su transpuesta:
$$A^TA=beginpmatrixx\y\zendpmatrixbeginpmatrixx&y&zendpmatrix=beginpmatrix xcdot x & x cdot y & xcdot z\ xcdot y & ycdot y & ycdot z\ xcdot z & ycdot z & zcdot z endpmatrix$$
Tomando el determinante de esto, obtienes el cuadrado del determinante de A: $$2 (xcdot y) (xcdot z) (ycdot z)+(xcdot x) (ycdot y) (z cdot z)-(xcdot z)^2 (ycdot y) – (xcdot x )(ycdot z)^2 – (xcdot y)^2 (zcdot z)$$
En este ejemplo de 3 vectores, la ecuación anterior devuelve el valor del volumen definido por los vectores xy y z.
Puedes tomar la raíz cuadrada positiva de esto como el valor absoluto del determinante. Siempre es positivo porque no tiene sentido definir áreas positivas y negativas para espacios definidos en dimensiones superiores al propio espacio. Dependiendo de la perspectiva, un área positiva puede convertirse en un área negativa si se mira desde atrás.
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