Luego de indagar en varios repositorios y páginas webs de internet al concluir dimos con la respuesta que te enseñaremos a continuación.
Solución:
Aquí hay una solución principal (le dejamos algunos detalles).
Sea $A$ un $nveces n$ tridiagonal matriz tal que todas sus entradas consisten en ceros excepto aquellas en (i) las diagonales principal y subdiagonales son $-1$; (ii) las superdiagonales son $-2$.
Sea $u$ el vector columna, todas las entradas son $1$, de modo que $uu^T$ es una matriz $nveces n$ de todos los $1$. De esta forma, su matriz se convierte en $A+uu^T$. Ahora, aplique el lema de la matriz determinante para obtener $$det(A+uu^T)=(1+u^TA^-1u)cdotdet(A).$$ La buena noticia es: determinantes y las inversas de las matrices tridiagonales son calculables (ver esto en Wiki). Por ejemplo, en el presente caso $$f_n:=det(A)=(-1)^nsum_k=0^lfloorfracn2rfloor(-1)^k binomnkk2^k.$$ Además, observe que la cantidad $u^TA^-1u$ es la suma de todas las entradas de la matriz inversa $A^-1$.
ACTUALIZAR. Como todavía preguntas sobre el inverso y etc., he calculado tu determinante beginalign det(A+uu^T)&=f_n+sum_ileq j^1,n2^ jif_i-1f_nj+sum_{j
Intentaré dar una solución explícita diferente. A partir de la formulación del problema de la respuesta 1, $$det(A+uu^T)=(1+u^TA^-1u).det(A).$$ A partir de aquí, necesitamos resolver algunos expresiones recursivas, para calcular el determinante y el inverso de $A$. Resuelvo estas expresiones recursivas usando raíces de sus ecuaciones características. Para el determinante de $A$, la expresión recursiva es $$f_n=-f_n-1-2f_n-2, f_0=1, f_-1=0.$$ Las raíces de la ecuación característica resultante $x^2+x+2=0,$ son $$ s_1=frac-12+ fraciota sqrt72, s_2=frac-12- fraciota sqrt72.$$ Por lo tanto, $$det(A)=f_n=r_1.s_1^n+r_2.s_2 ^n,$$ donde, usando las condiciones iniciales $$r_1=frac12 +fraciota 2sqrt7, r_2=frac12 -fraciota 2sqrt7.$$ Ahora, para calcular $A^-1$ necesitamos resolver las siguientes expresiones recursivas $$g_i=-g_i-1-2g_ i-1, textpara i=2, 3dots,n, g_0=1, g_1=-1$$ $$ h_i=-h_i+1-2h_ i+2, textpara i=n-1,dots,1, h_n+1=1, h_n=-1.$$ Similar a $ f_n$, resolviendo estas expresiones recursivas obtenemos $$g_i=r_1.s_1^i+r_2.s_2^i.$$ Y, $$h_i=r_h1.s_1^ni+ r_h2.s_2^ni,$$ donde, $$r_h1=frac-12-frac32iotasqrt(7), r_h2=frac-12+frac32iotasqrt(7).$$ Las entradas de $A^-1$ están claramente dadas por $g_i , h_i$ (aquí).
$$A^-1_ij=begincasosfrac2^jig_i-1h_j+1g_n & mboxsi $i le j$ \ fracg_j-1h_i+1g_n &mboxif $j< i$ endcasos.$$
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