Solución:
El determinante se calcula en el mismo camino, independientemente del campo del que se tomen los números de los elementos de la matriz.
La firma del tipo del determinante de hecho no se muestra de manera prominente en el artículo de Wikipedia en inglés sobre determinantes, golpeó el número 3 en mi búsqueda de Google, después de la entrada del libro de palabras alemán Duden y el artículo en idioma alemán.
Dice
Aunque se utiliza con mayor frecuencia para matrices cuyas entradas son números reales o complejos, la definición del determinante solo implica suma, resta y multiplicación, por lo que se puede definir para matrices cuadradas con entradas tomadas de cualquier anillo conmutativo.
en la introducción que da pistas sobre el tipo de resultado, si considera el cierre algebraico.
Por otro lado, el artículo sobre formas multilineales lo hace: $$ f: V ^ n a K $$ por que $ V $ sea un espacio vectorial $ n $ -dimensional sobre $ K $.
Por supuesto, debe estar familiarizado con la caracterización de Weierstraß del determinante como una forma multilineal alterna (normalizada) para mirar allí, que no está vinculada en la definición en el artículo sobre determinantes y está enterrada más profundamente en ese texto.
Algo sorprendente para un artículo básico que ya debería haber recibido muchas miradas.