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Determinante de matrices tridiagonales de bloque

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Solución:

Este es un buen ejemplo del siguiente teorema: sean $A_ijin M_r(k)$ matrices conmutantes por pares para $1le i,jle d$, y sean $Ain M_dr( k)$ sea la matriz cuyos bloques $rtimes r$ son los $A_ij$’s. Entonces $det A$ es igual al determinante de la matriz $Bin M_r(k)$ obtenido al calcular el determinante formal de los bloques. Ejemplo: $$detbeginpmatrix A_11 & A_12 \ A_21 & A_22 endpmatrix=det(A_11A_22-A_ 12A_21).$$ Tenga en cuenta que la fórmula es false si los bloques no conmutan.

En su caso, eso significa que $$det A=det P_N(J_n),$$ donde $P_N(X)$ es el determinante de la matriz tridiagonal cuyas entradas diagonales son $X$ y la sub/superdiagonal las entradas son unas. Este es el polinomio mónico cuyas raíces son los números $2cosfrackpiN+1$, $1le kle N$.

En particular, los valores propios de $J_n$ son los números $1+2cosfracjpin+1,$. De ahí la fórmula $$det A=prod_j=1^nP_Nleft(1+2cosfracjpin+1right).$$

La idea del producto Kronecker planteada en el comentario de Algebraic Pavel sobre la pregunta original de intercambio de pilas de matemáticas parece una buena manera de abordar el caso particular que le interesa. Específicamente, suponiendo que $A$ es $mn times mn$, es decir, hay $m$ bloques de filas y columnas, entonces $$A = J_m otimes I_n + I_m otimes J_n – I_mn,$$ y el Los valores propios de $mn$ de $A$ están dados por $$lambda_ij = Big(1+2 cos fraci pim+1Big) + Big(1+2 cos fracj pin+1Big) – 1, qquad 1 le i le m, 1 le j le n.$$ (Usé la fórmula para los valores propios de $ matrices J$ de la respuesta de Denis Serre aquí.) El determinante es entonces $$det A = prod_i=1^m prod_j=1^n lambda_ij.$$ Si eres solo después de caracterizar cuándo $A$ es singular, solo necesita determinar cuándo cualquiera de los $lambda_ij$ puede ser cero, lo que parece bastante sencillo.

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