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Solución:
La desigualdad $$det(A+B)geq det A +det B$$ está implícita en el teorema del determinante de Minkowski $$(det(A+B))^1/ngeq ( det A)^1/n+(det B)^1/n$$ que tiene true para cualquier matriz hermítica $ntimes n$ no negativa $A$ y $B$. La última desigualdad es equivalente al hecho de que la función $Amapsto(det A )^1/n$ es cóncava en el conjunto de $ntimes n$ matrices hermitianas no negativas (ver, por ejemplo, Un estudio de la teoría de matrices y las desigualdades de matrices por Marcus y Minc, Dover, 1992, P. 115 y también el hilo MO anterior).
Tenemos $((A+B)x,x)ge (Ax,x)$. Entonces se deduce de la caracterización variacional de los valores propios (teorema min-max) que los valores propios de $A+B$ son mayores o iguales que los de $A$. Esto implica $det(A+B)ge det(A)$.
Otra forma más de ver esto es notar que $A = overlineQ^tQ$ para alguna matriz invertible $Q$. Entonces $rm det(A+B) = |rm det(Q)|^2rm det( I + (overlineQ^-1)^ tBQ^-1)$.` Ahora $(overlineQ^-1)^tBQ^-1$ es hermitiano y definido positivo. Basta probar que si $X$ es definida positiva y hermitiana, entonces $rm det(I+X) geq (1 + rm detX)$. Podemos conjugar $X$ por una matriz unitaria $U$ y suponer que $X$ es diagonal. Sean los valores propios de $X$ $lambda_1,ldots, lambda_n$, (permitiendo repeticiones). Entonces $rm det(I+X) = prod_i=1^n(1 + lambda_i) geq 1 + prod_i=1^n lambda_ i = 1 + rm detX.$ Tal argumento aparece en algunas demostraciones de R. Brauer, aunque no sé si tiene su origen en él.
Edición posterior: por cierto, creo que con la desigualdad media aritmético-geométrica y un análisis un poco más cuidadoso, puede ver con este enfoque que para $X$ como arriba, tiene $rm det(I+X) geq (1 +(rm detX)^1/n)^n$ (un caso especial de la desigualdad de Minkowski mencionado en la respuesta aceptada, pero suficiente para probar el caso general mediante un argumento similar al anterior). Para el conjunto $d = rm detX$. Sea $s_m(lambda_1,ldots ,lambda_n)$ la función simétrica elemental $m$-ésima evaluada en los valores propios. Usando la desigualdad media aritmético-geométrica se obtiene que $s_m(lambda_1,ldots,lambda_n) geq left( begin{arrayclcr n\mendarray right)d^m/n$, por lo que obtenemos $rm det(I+X) geq (1+d^1/n)^n.$