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Desigualdad de Hölder con tres funciones

Después de mucho luchar ya encontramos el resultado de este enigma que muchos los lectores de nuestro sitio han tenido. Si tienes algún dato que aportar no dudes en dejar tu conocimiento.

Solución:

La idea aproximada es mostrar una serie de desigualdades:
$$int|fgh|leq|fg|_p’|h|_rleq|f|_p|g|_q|h|_r$$ dónde $p’=fracpqp+q$ o $frac1p’=frac1p+frac1q$ o $1=frac1p/p’+frac1q/p’$.

Primero mostramos que $|fg|_p’leq |f|_p|g|_q$. Esto se sigue de la computación $$|fg|_p’=left(int|fg|^p’right)^frac1p’leq(|f^p ‘|_p/p’|g^p’|_q/p’)^frac1p’=|f|_p| g|_q,$$ donde la desigualdad del medio proviene de la desigualdad de Holder. (La desigualdad de Holder se aplica porque $|f|en L^p(mathbbR)$ implica $|f|^p’en L^p/p'(mathbbR)$y $fracp’p + fracp’q = 1$.) Como resultado, $|fg|en L^p'(mathbbR)$. Aplique la desigualdad de Holder nuevamente para obtener la primera desigualdad arriba. Espero que esto te ayudará.

Podemos usar una desigualdad AM-GM generalizada para deducir que si $1/p+1/q+1/r=1$, entonces

$$abclefraca^pp+fracb^qq+fracc^rr$$

para $a,b,c$ no negativos. Sea $a=|f(x)|/|f|_p,,b=|g(x)|/|g|_q,,c=|h(x)|/|h |_r$, y luego integra ambos lados de la desigualdad sobre $mathbbR$ para obtener

$$frac_1\lefrac1p+frac1q +frac1r=1.$$

Multiplique y tendrá la desigualdad de Holder para tres funciones.

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