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Solución:
Aquí hay otra interpretación muy buena (pero aún algebraica) que explica algo de la geometría: recuerda que $nombre del operadorSL(2,mathbbC)$ tiene un $2$-a-$1$ representación en $nombre del operadorSL(3,mathbbC)$ de modo que el álgebra de Lie se divide como
$$ fraksl(3,mathbbC) = fraksl(2,mathbbC)oplus frakm $$
dónde $frakm$ es el ($5$-dimensional) complemento ortogonal de $fraksl(2,mathbbC)$ usando la forma de matar de $fraksl(3,mathbbC)$. Tenga en cuenta que $frakm$ es un irreductible $fraksl(2,mathbbC)$-módulo, y que cada elemento $xin fraksl(3,mathbbC)$ puede escribirse únicamente como $x = x_0 + x_1$ con $x_0in fraksl(2,mathbbC)$ y $x_1infrakm$. Tenga en cuenta también que ps[frakm,frakm]= fraksl(2,mathbbC)$.
Esto define el emparejamiento deseado. $fraksl(2,mathbbC)veces bigwedgenolimits^2(frakm)tomathbbC$: Enviar $(x_0,y_1,z_1)$ a $nombre del operadortr(x_0[y_1,z_1]ps. Por supuesto, esto hace que el $nombre del operadorSL(2,mathbbC)$-invariancia del apareamiento evidente.
Para una construcción puramente geométrica, véase más abajo, después de las siguientes consideraciones algebraicas.
Existe un isomorfismo wronskiano que como caso particular dice que la segunda potencia exterior de $R_4$ es isométrica a la segunda potencia simétrica de $R_3$. Entonces el invariante en cuestión es $I(Q,C)$un invariante conjunto en una cuadrática binaria $Q$ y un cúbico binario $C$que es lineal en $Q$ y cuadrático en $C$. De hecho, esto es único a escala y se da en notación simbólica clásica (ver, por ejemplo, Grace y Young) por
$$ (ab)(ac)(bc)^2 $$
dónde $Q=a_x^2$ y $C=b_x^3=c_x^3$.
Otra construcción es partir del discriminante binario y polarizarlo para obtener una forma bilineal (la única invariante en $R_2$), y aplicar esta forma bilineal a $Q$ y la arpillera de $C$.
Si uno no quiere usar el isomorfismo de Wronski, entonces el invariante sería $J(Q,F_1,F_2)$trilineal en el cuadrático $Q$ y los dos cuarticos binarios $F_1,F_2$. Satisfaría la antisimetría $J(Q,F_2,F_1)=-J(Q,F_1,F_2)$ y sería dado en forma simbólica por
$$ (ab)(ac)(bc)^3 $$
donde ahora $Q=a_x^2$, $F_1=b_x^4$y $F_2=c_x^4$.
Construcción geométrica:
Considerar $matemáticasP^1$ incrustado por Veronese como una cónica $mathscrC$ en $matemáticasP^2$. Una cuadrática binaria $Q$ corresponde a un punto en $matemáticasP^2$. Un cúbico binario $C$ corresponde a un divisor o a una colección desordenada de tres puntos $P_1,P_2,P_3$ en $mathscrC$. Dejar $T_1, T_2, T_3$ sean las tangentes a la cónica en $P_1,P_2,P_3$. Considere los puntos de intersección $T_1cap P_2P_3$, $T_2cap P_1P_3$, $T_3cap P_1P_2$. Están alineados y por lo tanto definen una línea. $L$. La desaparición de lo invariante $I(Q,C)$ detecta la situación en la que el punto $Q$ está en la línea $L$. No recuerdo si el resultado de colinealidad que mencioné tiene nombre, pero es un caso degenerado del Teorema de Pascal.
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