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Descomposición polar de una matriz general

Posterior a buscar en varios repositorios y páginas de internet al final hemos descubierto la resolución que te mostraremos pronto.

Solución:

Así que primero deja $A = beginpmatrixa&-b\b&aendpmatrix=QS$.

Entonces tenemos $A^TA=beginpmatrixa&b\-b&aendpmatrixbeginpmatrixa&-b\b&aendpmatrix=beginpmatrixa^2+b ^2&0\0&a^2+b^2endmatriz$.

El(los) valor(es) propio(s) de esta matriz es $a^2+b^2$a veces son diferentes pero no demasiado difíciles de manejar.

Los vectores propios son $beginpmatrix1\0 endpmatrix$ y $beginpmatrix0\1 endpmatrix$.

Entonces podemos escribir $A^TA=beginpmatrix1&0\0&1endpmatrixbeginpmatrixa^2+b^2&0\0&a^2+b^2endpmatrixbeginpmatrix 1&0\0&1endmatrix^-1$.

El primer factor son solo los vectores propios, el segundo es una matriz diagonal que consta de cada uno de los valores propios correspondientes y el tercero es el inverso del primero.

Ahora definimos una segunda matriz $S=beginpmatrix1&0\0&1endpmatrixbeginpmatrixsqrta^2+b^2&0\0&sqrta^2+b^2end pmatrixbeginpmatrix1&0\0&1endpmatrix^-1$.

La única diferencia aquí es que $S$ se construye utilizando los valores singulares, que son básicamente las raíces cuadradas de los valores propios.

tenemos eso $S=beginpmatrixsqrta^2+b^2&0\0&sqrta^2+b^2endpmatrix$.

tambien tenemos eso $Q=AS^-1= beginpmatrixa&-b\b&aendpmatrixbeginpmatrixsqrta^2+b^2&0\0&sqrta ^2+b^2endpmatrix^-1=beginpmatrixfracasqrta^2+b^2&-fracb sqrta^2+b^2\fracbsqrta^2+b^2&fracasqrta^2+b^2 endmatrix$.

Finalmente, tenemos la descomposición polar: $beginpmatrixa&-b\b&aendpmatrix=beginpmatrixfracasqrta^2+b^2&-fracb sqrta^2+b^2\fracbsqrta^2+b^2&fracasqrta^2+b^2 endpmatrixbeginpmatrixsqrta^2+b^2&0\0&sqrta^2+b^2endpmatrix$

Presumiblemente, $A$ es invertible (de lo contrario, sería la matriz cero). También asumiré que $A$ tiene entradas reales (si no, cambie todas las apariciones de $A^T$ a $A^*$). No voy a discutir la prueba de la descomposición polar, pero consultando la prueba te dirá que las matrices que doy son las correctas y que tienen las propiedades deseadas (puedes comprobar esto sin mucho trabajo).

Queremos encontrar la factorización $A=ARRIBA,$ dónde $U$ es ortogonal (unitario) y $P$ es positivo semidefinido y simétrico (hermitiano). Calcular $(A^TA)^1/2,$ y configura esto para que sea $P$. Entonces, simplemente defina $U$ por $U=AP^-1.$ Hablemos de encontrar la raíz cuadrada. Ya que $A$ es invertible, $A^TA$ es definida positiva, por lo que podemos definir la raíz cuadrada (todos los valores propios son positivos; tenga en cuenta que solo se necesita una semidefinición positiva). Entonces, podemos diagonalizar $A^TA,$ obtener la descomposición propia $A^TA=SLambda S^-1.$ Ahora, la raíz cuadrada se define como $(A^TA)^1/2=SLambda^1/2S^-1$dónde $Lambda^1/2=textdiagleft(sqrtlambda_jright).$

Entonces, aquí están los pasos:

  1. Obtenga una descomposición propia de $A^TA$.
  2. Encuentre la raíz cuadrada de $A^TA$y define esto como $P$.
  3. Establecer $U=AP^-1.$

Esto nos da nuestra descomposición. $A=ARRIBA.$ Podemos hacer esto para una matriz de su formulario, y lo animo a seguir estos pasos y ver qué obtiene. No necesitamos “números”, ya que es bastante simple para un $2veces 2$.

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