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Derivando ambos lados de una ecuación

Nuestro equipo de redactores ha estado mucho tiempo investigando para dar solución a tus interrogantes, te compartimos la soluciones de modo que deseamos serte de mucha ayuda.

Solución:

La primera de sus identidades hace algunas suposiciones implícitas: debe leerse como $$ x^2+f(x)^2=1 $$ donde $f$ es alguna función (todavía no determinada). Si nosotros asumir $f$ sea diferenciable, entonces podemos diferenciar ambos lados: $$ 2x+2f(x)f'(x)=0 $$ porque la suposición es que la función $g$ definida por $g(x)=x ^2+f(x)^2$ es constante.

De esto podemos derivar $$ f'(x)=-fracxf(x) $$ al menos en los puntos donde $f(x)ne0$, que excluye $x=1$ y $x=-1$ del dominio donde $f$ es diferenciable.

Entonces lo que obtienes es que asumiendo $f$ existe y es derivable, entonces, para $xne1$ y $xne 1$, $f’$ satisface la relación anterior.

¿Por qué la relación está escrita de esa manera? La respuesta es que a menudo se nos da una lugar definida por alguna ecuación en dos variables: es el conjunto de puntos $(x,y)$ tal que $h(x,y)=0$ y tratamos de encontrar un forma explícita para el lugar geométrico, esa es una relación $y=f(x)$ o $x=g(y)$ , de modo que $$ h(x,f(x))=0qquadtext o qquad h(g(y),y)=0 $$ se cumple para $x$ en una vecindad adecuada de $x_0$ o $y$ en una vecindad adecuada de $y_0$ donde $(x_0,y_0)$ pertenece al lugar geométrico .

Tomemos por ejemplo el hoja cartesii, $x^3+y^3-3xy=0$. Si diferenciamos con respecto a $x$, obtenemos $$ 3x^2+3y^2y’-3y-3xy’=0 $$ lo que da $$ y’=fracyx^2y^2- x $$ Podemos encontrar dónde la derivada es cero estableciendo $y=x^2$ y reemplazando la ecuación original $$ x^3+x^6-3x^3=0 $$ que es $ x=0$ (que no se puede usar) o $x^3=2$, sin siquiera conocer la “forma explícita” $y=f(x)$.

Tu escribiste “$x = 5$“; ¿qué nos dice eso acerca de $x$? Solo eso, $x$es igual 5. Entonces, al diferenciar ambos lados, debes tener eso en cuenta. En otras palabras, $x$ es constante y 5 es constante.

Además, entonces no puedes hacer

$$d sobre dx x = d sobre dx 5, tag1$$

ya que eso es equivalente a

$$d sobre dx x = d sobre d5 5, tag2$$

lo que ya se ha señalado no tiene sentido.

Aunque puedes hacer

$$d sobre dy x = d sobre dy 5 Leftrightarrow 0 =0;tag3$$

aquí $y$ es una variable independiente sobre los números reales.

$x=5$ implica que $x$ no cambia, por lo que no tiene sentido tratar de tomar la derivada con respecto a $x$

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