Solución:
Permítanme ampliar la pista de Daniel Fischer.
$ z = x + iy rightarrow bar {z} = x – iy $ que da $ x = frac {1} {2} (z + bar {z}) $ y $ y = frac {1} {2i} (z – bar {z}) $. Por tanto, podemos considerar la función $ f (x, y) $ como una función de $ z $ y $ bar {z} $.
Diferenciando las relaciones obtendremos $ frac { partial {x}} { partial {z}} = frac {1} {2} $, $ frac { partial {y}} { partial {z} } = frac {1} {2i} $, $ frac { parcial {x}} { parcial { bar {z}}} = frac {1} {2} $ y $ frac { parcial {y}} { parcial { bar {z}}} = frac {-1} {2i} $
Ahora usa la regla de la cadena
$$ frac { parcial {f}} { parcial {z}} = frac { parcial {f}} { parcial {x}} frac { parcial {x}} { parcial {z} } + frac { parcial {f}} { parcial {y}} frac { parcial {y}} { parcial {z}} = frac {1} {2} izquierda ( frac { parcial {f}} { parcial {x}} – i frac { parcial {f}} { parcial {y}} derecha) $$
De manera similar, aplicando la regla de la cadena para $ bar {z} $ obtendrá otro resultado.
Aquí asumiremos que todas las reglas del cálculo aplicadas aquí son aplicables.
Esta idea es solo $ textit {heurístico e intuitivo} $, matemáticamente es incorrecto. El momento en que cambiarás $ z $, es conjugado $ bar {z} $ por definición cambiaría automáticamente, ya que $ bar {z} = frac {| z | ^ 2} {z} $. Las variables $ z $ y $ bar {z} $ no somos independientes, y no podemos realizar el $ textit {derivaciones parciales} $, manteniendo una constante. Tan técnicamente $ frac { parcial x} { parcial z} neq frac {1} {2} $ y así como las otras derivadas parciales. Hay que pensar $ z $ como una unidad en el plano complejo, donde $ z = x + iy $ es solo una representación. En lugar de justificar matemáticamente las derivadas anteriores, simplemente se puede definir $$ frac { parcial f} { parcial z}: = frac {1} {2} Bigg ( frac { parcial f} { parcial x} -i frac { parcial f} { parcial y} Bigg) text {y} frac { parcial f} { parcial bar {z}}: = frac {1} {2} Bigg ( frac { parcial f} { parcial x} + i frac { parcial f} { parcial y} Bigg). $$ Es solo que la notación se vuelve útil y uno puede escribir directamente las ecuaciones de Cauchy-Riemann como $ frac { parcial f} { parcial bar {z}} = 0 $. Un lugar más donde uno puede encontrar esta notación útil es en el texto $ textit {Análisis complejo} $ por $ textit {Lars V. Ahlfors} $, sección $ 2,3. textit {Conformal Mapping.} $