Esta es el arreglo más exacta que encomtrarás dar, pero mírala pausadamente y valora si se adapta a tu proyecto.
Solución:
para un suave $f:mathbbR^namathbbR^m$tú tienes $df:mathbbR^ntomathcalL(mathbbR^n,mathbbR^m)$
Ser diferenciable es equivalente a:
$$ f(x+h)=f(x)+df(x)cdot h+o(|h|) $$
En tu caso, $f(x)=langle x,x rangle_G$ y $m=1$por lo tanto diferencial en $x$, $df(x)$ es en $mathcalL(mathbbR^n,mathbbR)$. Es una forma lineal.
Seamos más explícitos:
beginalign* f(x+h)=& langle x+h,x+h rangle_G \ =& underbracelangle x,x rangle_G_f(x) + underbrace 2langle x,h rangle_G _df(x)cdot h+ underbracelangle h,h rangle_G_h\ end alinear*
Por lo tanto, su diferencial está definido por
$$ df(x)cdot h = 2langle x,h rangle_G = (2x^tG)h $$
dónde $2x^tG=left(parcial_x_1 f,dots,partial_x_n fright)$ es tuyo “vector fila.
Tenga en cuenta que, porque $m=1$también puedes usar un vector $nabla f(x)$ representar $df(x)$ utilizando el producto escalar canónico. Este vector es por definición el gradiente de $f$:
$$ df(x)cdot h = langle nabla f(x),h rangle = langle 2Gx,h rangle $$
dónde $nabla f(x)=2Gx=left(begin{arraycparcial_x_1 f \ … \parcial_x_n fendarrayderecho)$. Esta es tu vector de “columna”.
La diferencia está en el hecho de que el autor en la segunda referencia prefiere ordenar los componentes del gradiente. En el primer párrafo dicen
Dejar $xinmathbbR^n$ (un vector columna) y sea $f : mathbbR^n a R$. el derivado de $f$ con respecto a $x$ es un vector fila:
$$ fracparcial fparcial x = left(fracparcial fparcial x_1, cdots , fracparcial fparcial x_n right) $ ps
Puede argumentar que esta es una mejor opción que la primera (por ejemplo, esta respuesta), pero al final del día es solo una cuestión de notación. Elija el que prefiera y quédese con él para evitar problemas en el futuro.
De manera más general, supongamos que diferenciamos cualquier función escalar $f$ de un vector $mathbfx$ con respecto a $mathbfx$. Por la regla de la cadena, $$df=sum_ifracpartial fpartial x_idx_i=boldsymbolnablafcdot dmathbfx=boldsymbolnablaf^T dmathbfx .$$(Técnicamente, debería escribir $df=(boldsymbolnablaf^T dmathbfx)_11$ para tomar la entrada única de un $1veces 1$ matriz.)
Si quieres definir la derivada de $f$ con respecto a $mathbfx$ como el $dmathbfx$ coeficiente en $df$usas la última expresión, obteniendo el vector fila $boldsymbolnablaf^T$. Definirlo en cambio como el argumento de la izquierda del producto escalar, dando el vector columna $boldsymbolnablaf$es una convención alternativa.
Nos puedes añadir valor a nuestra información dando tu veteranía en las ilustraciones.