Luego de mucho batallar pudimos hallar la contestación de esta cuestión que ciertos de nuestros usuarios de este espacio han tenido. Si deseas aportar algo no dudes en dejar tu conocimiento.
Solución:
Aquí está mi interpretación de su pregunta: Para $nge 3$ quieres tener una función $E: S^n-1to mathbb R^n$ (donde $S^n-1$ es la esfera unitaria centrada en el origen en $matemáticas R^n$) tal que para cada función suave que desaparece en ninguna parte
$$ r: mathbb Ra mathbb R^n, $$
para cada $tin matemáticas R$la derivada del tiempo $r'(t)$ es un múltiplo escalar de $E(sombreror(t))$.
También quieres tener una función explícita. $E$pero esto no importa: tal función simplemente no existe (tan pronto como $nge 3$).
La razón es que si $E$ existía entonces para cada vector unitario $uen S^n-1$ teníamos un avión $P(u)subconjunto mathbb R^n$ (tal vez una línea en algunos casos) atravesada por los vectores $u$ y $E(u)$. Para simplificar, trabajaré con funciones $r: matemáticas Ra S^n-1$ así que no hay necesidad de normalizar. Para tales funciones necesitarías que $r'(t)en P(r(t))$ para todos $t$. Pero, dado cualquier vector unitario $uen S^n-1$es fácil encontrar una función $r$ como arriba, tal que $r(0)=u$ pero $r'(0)no en P(u)$. Por ejemplo, tome una función que parametriza un círculo unitario que pasa por $u$ y ortogonal a $P(u)$. (Esto, por supuesto, no funciona si $n=2$.) El ejemplo preciso dependerá de lo que el mapa $E$ es, pero, suponiendo para la concreción que $u=e_1$ y $E(u)=e_n$ (que siempre se puede lograr eligiendo coordenadas cartesianas adecuadas una vez $E$ se da), entonces tomaría
$$ r(t)= (cos(t), sin(t), 0,…,0). $$
Por supuesto, si quieres $E$ depender de más datos, a saber, ser una función en el haz tangente de $matemáticas R^n$entonces tal $E$ existe, es decir, es la función dada por su ecuación (3).
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