Recuerda que en las ciencias un error puede tener diferentes soluciones, de igual modo compartimos lo más óptimo y mejor.
Solución:
El autor probablemente se está refiriendo al hecho de que el determinante está dado por:
$$ sum_i,j,k=1^nvarepsilon_ijka_1ia_2ja_3k $$
donde $varepsilon_ijk$ es $1$ si $(ijk)$ es una permutación par de $(123)$, $-1$ si $(ijk)$ es una permutación impar de $(123)$ y $0 $ si dos o más de $i,j,k$ son iguales. Derivando esta expresión inmediatamente se obtiene:
$$ sum_i,j,k=1^nvarepsilon_ijk(a_1i’a_2ja_3k+a_1ia_2j’a_3k+a_ 1ia_2ja_3k’) $$
que se ve fácilmente como la suma de los tres determinantes dados, usando de nuevo la misma fórmula.
El determinante es como un producto generalizado de vectores (de hecho, está relacionado con el producto exterior). Entonces, considerando las filas como factores en este producto generalizado, esta fórmula refleja la regla de diferenciación del producto.
Si $D(a,b,c)$ es generalmente una función de vectores que es lineal en cada argumento, y la aplica a funciones vectoriales en una variable, entonces
beginalign &D(a(t+h),b(t+h),c(t+h))-D(a(t),b(t),c(t))\[0.5em]
&= D(a(t+h),b(t+h),c(t+h))-D(a(t),b(t+h),c(t+h))\ & +D(a(t),b(t+h),c(t+h))-D(a(t),b(t),c(t+h))\ & +D (a(t),b(t),c(t+h))-D(a(t),b(t),c(t))\[0.5em]
&=D([a(t+h)-a(t)],b(t+h),c(t+h)) +D(a(t),[b(t+h)-b(t)],c(t+h)) +D(a(t),b(t),[c(t+h)-c(t)]) endalinear
ya partir de ahí se puede obtener la regla del producto generalizada reivindicada.
Ese comentario ha dicho la mayor parte de lo que necesita explicar. Sin embargo, creo que es necesaria una explicación más precisa para el ejemplo. Por lo tanto, citaré una.
i) $a_11(t).a_23(t).a_32(t) $ es un término abitrario en la expansión del determinante izquierdo
ii) $ (a_11(t).a_23(t).a_32(t))’ = a’_11(t)a_23(t).a_32 (t)+a_11(t)a’_23(t).a_32(t)+a_11(t)a_23(t).a’_32 (t)$
iii) $a’_11(t)a_23(t).a_32(t)$ es un término en expansión del primer determinante a la izquierda de la ecuación. Este es un determinante en el que la primera fila se deriva
$a_11(t)a’_23(t).a_32(t),a_11(t)a_23(t).a’_32(t) $ son similares.
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