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Derivada de la norma euclidiana del producto matriz-vector

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Solución:

Estoy de acuerdo. Tu aplicación de la regla de la cadena fue correcta.

$$fracdx = fracdGrande(d(Hacha)fracd (Hacha)dx = frac(Hacha)^T_2A$$

Sin embargo, no quiero decir simplemente “sí” como respuesta, así que a continuación he elaborado la solución explícitamente para el caso $mathbbR^2$ sólo para que se sienta más cómodo de que esto es correcto. Sean $a_ij$ las componentes de $A$ y sean $x_j$ las componentes de $x$. Tenemos,

$$fracddx_1||Ax||_2 = fracddx_1Big(sqrt(a_11x_1 + a_12x_2)^2 + (a_ 21x_1 + a_22x_2)^2Grande)$$

$$=frac12frac2(a_11x_1 + a_12x_2)a_11+2(a_21x_1 + a_22x_2)a_21 sqrt(a_11x_1 + a_12x_2)^2 + (a_21x_1 + a_22x_2)^2$$

$$=frac(a_11x_1 + a_12x_2)a_11+(a_21x_1 + a_22x_2)a_21sqrt(a_11 x_1 + a_12x_2)^2 + (a_21x_1 + a_22x_2)^2$$

$$=frac(Ax)^Tbeginbmatrixa_11\a_21endbmatrix$$

y de manera similar para $fracddx_2$ obtenemos,

$$fracddx_2||Ax||_2=frac(Ax)^Tbeginbmatrixa_12\a_22endbmatrixAx $$

Así que por inspección,

$$fracddx||Ax||_2 = beginbmatrixfracddx_1||Ax||_2 & fracddx_2||Ax|| _2endbmatriz = frac(Ax)^TA = fracx^TA^TA$$

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