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Solución:
Uno puede tener cualquier combinación de (infinito contable, incontable) y (denso en la línea, no denso en la línea). (A menos que, como se sugirió en los comentarios, tenga alguna noción de densidad distinta a la definida por el Capitán Falcon).
Numerable infinito y denso en los reales: Racionales
Numerable infinito y no denso en los reales: Enteros
Incontables y densos en los reales: Irracionales
Incontable y no denso en los reales: Intervalo unitario
Un subconjunto $A$ de $mathbbR$ se dice denso si y solo si cualquier elemento de $mathbbR$ es un límite de una secuencia de elementos de $A$.
De hecho, tanto $mathbbQ$ como $mathbbRsetminusmathbbQ$ son densos en $mathbbR$ en ese sentido.
Como señaló, $mathbbQ$ es contable, mientras que $mathbbRsetminusmathbbQ$ no lo es, pero la noción de densidad no tiene nada que ver con la contabilidad.
Observación. Para ver que $mathbbQ$ es denso en $mathbbR$, escojamos $xinmathbbR$ y para todo $ninmathbbN$ definamos : $$x_n:=fraclfloor 10^nxrfloor10^n.$$ Es una secuencia de $mathbbQ$ que converge hacia $x$ usando el teorema de compresión. Para la densidad de $mathbbRsetminusmathbbQ$ considere: $$y_n:=x_n+fracsqrt2n+1.$$
Como se aclaró en otras respuestas, la cardinalidad por sí sola no responde a las preguntas de densidad.
En cuanto a la definición de densidad, hay dos definiciones. Uno es topológico, diciendo que un conjunto $A$ es denso si se cruza con todos los conjuntos abiertos no vacíos. Para la recta real esto equivale a decir que $A$ es denso (en la recta real $Bbb R$) si corta todo intervalo abierto $(x,y)$ con $x
Si $X$ es un espacio topológico y $A$ es un subconjunto entonces decimos que $A$ es denso en $X$ siempre que el cierre de $A$ contenga $X$. Cuando $X=Bbb R$ esto significa cualquiera de las siguientes dos condiciones: (1) el conjunto $A$ interseca cada intervalo abierto no vacío, o (2) para cada número real $x$ hay una secuencia de puntos de $A$ convergente a $x$. Por otro lado, si $A=Bbb Z$ entonces $A$ es denso en sí mismo (topológicamente), pero no de orden denso en sí mismo. De hecho, para cada $minBbb Z$ la secuencia constante $langle m,m,…rangle$ converge en $m$. Por otro lado, el intervalo $(m,m+1)$ no contiene enteros.
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