Posteriormente a buscar en diferentes repositorios y páginas finalmente encontramos la solución que te compartiremos ahora.
Solución:
Si queremos usar un circunvolución, sea $ f_X $ la función de densidad completa de $ X $, y sea $ f_Y $ la función de densidad completa de $ Y $. Sea $ Z = X + Y $. Entonces $$ f_Z (z) = int _ – infty ^ infty f_X (x) f_Y (zx) , dx. $$
Ahora apliquemos esta fórmula general a nuestro caso particular. Tendremos $ f_Z (z) = 0 $ para $ z lt 0 $, y también para $ z ge 2 $. Ahora tratamos con el intervalo de $ 0 $ a $ 2 $. Es útil dividir esto en dos casos (i) $ 0 lt z le 1 $ y (ii) $ 1 lt z lt 2 $.
(I) El producto $ f_X (x) f_Y (zx) $ es $ 1 $ en algunos lugares y $ 0 $ en otros. Queremos asegurarnos de evitar llamarlo $ 1 $ cuando es $ 0 $. Para tener $ f_Y (zx) = 1 $, necesitamos $ zx ge 0 $, es decir, $ x le z $. Entonces, para (i), integraremos de $ x = 0 $ a $ x = z $. Y fácilmente $$ int_0 ^ z 1 , dx = z. $$ Así $ f_Z (z) = z $ por $ 0 lt z le 1 $.
(ii) Suponga que $ 1 lt z lt 2 $. Para que $ f_Y (zx) $ sea $ 1 $, necesitamos $ zx le 1 $, es decir, necesitamos $ x ge z-1 $. Entonces, para (ii) integramos de $ z-1 $ a $ 1 $. Y fácilmente $$ int_ z-1 ^ 1 1 , dx = 2-z. $$ Así $ f_Z (z) = 2-z $ por $ 1 lt z lt 2 $.
De otra manera: (Bosquejo) Podemos ir después del CDF $ F_Z (z) $ de $ Z $, y luego diferenciar. Entonces necesitamos encontrar $ Pr (Z le z) $.
Por unos pocos reparado $ z $ valores, dibuje las líneas con la ecuación $ x + y = z $ en una gráfica del eje xy. Dibuja el cuadrado $ S $ con las esquinas $ (0,0) $, $ (1,0) $, $ (1,1) $ y $ (0,1) $.
Entonces $ Pr (Z le z) $ es el área de la parte $ S $ que está “debajo” de la línea $ x + y = z $. Esa área se puede calcular usando geometría básica. Por ejemplo, cuando z es 2, todo el área del cuadrado está debajo de la línea, por lo que Pr = 1. Hay un interruptor en forma básica en $ z = 1 $.
He aquí por qué necesitamos dividir la convolución en casos. La integral que buscamos evaluar para cada $ z $ es
$$ f_Z (z): = int _ – infty ^ infty f (x) f (zx) , dx. tag1 $$
(A la derecha de (1) estoy escribiendo $ f $ en vez de $ f_X $ y $ f_Y $ ya que $ X $ y $ Y $ tienen la misma densidad.) Aquí la densidad $ f $ es la densidad uniforme $ f (x) $, que es igual a $ 1 $ por $ 0, y es cero en caso contrario. El integrando $ f (x) f (zx) $ por lo tanto, tendrá valor $ 1 $ o $ 0 $. Específicamente, el integrando es $ 1 $ Cuándo
$$ 0
y es igual a cero en caso contrario. Para evaluar (1), que es una integral sobre $ x $ (con $ z $ mantenido constante), necesitamos encontrar el rango de $ x $-valores donde se satisfacen las condiciones enumeradas en (2). ¿Cómo depende este rango de $ z $? Trazando la región definida por (2) en el $ (x, z) $ avión, encontramos:
y está claro cómo los límites de la integración en $ x $ Dependen del valor de $ z $:
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Cuándo $ 0, los límites van desde $ x = 0 $ a $ x = z $, entonces $ f_Z (z) = int_0 ^ z 1dx = z. $
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Cuándo $ 1, los límites van desde $ x = z-1 $ a $ x = 1 $, entonces $ f_Z (z) = int_ z-1 ^ 11dx = 2-z. $
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Cuándo $ z <0 $ o $ z> 2 $, el integrando es cero, entonces $ f_Z (z) = 0 $.
Por el indicio de jay-sun, considere esta idea, si y solo si $ f_X (zy) = 1 $ Cuándo $ 0 le zy le 1 $. Así que obtenemos
$$ z-1 le y le z $$
sin embargo, $ z in [0, 2]PS, el rango de $ y $ puede no estar en el rango de PS[0, 1]PS para obtener $ f_X (zy) = 1 $y el valor $ 1 $ es un buen punto de división. Porque $ z-1 in [-1, 1]PS.
Considere (i) si $ z-1 le 0 $ entonces $ -1 le z-1 le 0 $ es decir $ z in [0, 1]PS, obtenemos el rango de $ y in [0, z]PS ya que $ z in [0, 1]PS. Y obtenemos $ int _ – infty ^ infty f_X (zy) dy = int_0 ^ z 1 dy = z $ Si $ z in [0, 1]PS.
Considere (ii) si $ z-1 ge 0 $ es decir $ z in [1, 2]PS, entonces obtenemos el rango de $ y in [z-1, 1]PS, y $ int _ – infty ^ infty f_X (zy) dy = int_ z-1 ^ 1 1 dy = 2-z $ Si $ z in [1, 2]PS.
En resumen, considere recortar el rango para obtener $ f_X (zy) = 1 $.
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