Solución:
Orden de un grupo, $ n $ comienza desde 1.
Cuando $ n = 1 $ el grupo es trivial.
Ahora bien, cada grupo de primer orden es cíclico y, por tanto, abeliano. Por lo tanto, grupos de $ n = 2,3 $ y $ 5 $ son abelianos.
Dado que cada grupo de orden $ p ^ 2 $ (dónde $ p $ es primo) es abeliano. Grupo de orden $ 4 = 2 ^ 2 $ es abeliano.
Por tanto, todo grupo de orden menor o igual a $ 5 $ es abeliano.
El grupo de orden 1 es trivial, los grupos de orden 2, 3, 5 son cíclicos según el teorema de Lagrange, por lo que son abelianos.
Para un grupo de orden 4, si tiene un elemento de orden 4, es abeliano ya que es cíclico (isomorfo a Z4).
Si los órdenes de cada elemento son 2, entonces la inversa de un elemento es el elemento en sí, por lo que puede verificar que todos los elementos se conmuten entre sí para que el grupo sea abeliano (isomorfo a klein four group)
Puedes realizar la mesa cayley (mesa de operaciones) para el grupo del pedido 4. Encontrarás 4 posibilidades. 3 de ellos son solo los mismos grupos con nombres de elementos diferentes y todos son isomorfos a Z4.
El otro es el grupo klein four. Esos son todos abelianos si miras la tabla
$ xy neq yx implica que G $ tiene al menos cinco elementos: $ e, x, y, xy, yx $. Pero $ | G | = 5 $ significa que $ G $ es isomorfo a $ mathbb {Z} _5 $, por lo que cada grupo de orden menor que 6 debe ser abeliano.