Luego de observar en diferentes repositorios y páginas de internet finalmente encontramos la solución que te compartiremos ahora.
Solución:
Prácticamente lo has entendido, aunque hay algunos errores menores en tu prueba.
Para cada $n$ consideramos la tapa abierta $C_n=B(x, 1/n): xin X$ de $X$. Por compacidad, existe un subconjunto finito $X_n$ de $X$ tal que $B_n:=B(x, 1/n): xin X_n$ cubre $X$.
(Aquí cometió un error en su prueba al suponer implícitamente que se puede elegir $X_n$ para que tenga cardinalidad $n$).
Ahora definimos $B=bigcup_nin mathbf NB_n$.
(Aquí también hay un error menor en su prueba. Usted define $B=B_n:nin mathbf N$. Tenga en cuenta que la forma en que definí $B$ es diferente a la suya.)
Queremos mostrar que $B$ forma una base de $X$.
Para mostrar esto, basta mostrar que todo conjunto abierto en $X$ puede escribirse como una unión de algunos miembros de $B$. Entonces, sea $U$ un conjunto abierto en $X$ y se elija arbitrariamente $xin U$.
Entonces sea $k>0$ un entero tal que $B(x, 1/k)$ está contenido en $U$. Ahora, por nuestra construcción, sabemos que $B_2k$ es una cubierta abierta de $X$. Entonces, algún miembro de $B_2k$ contiene $x$. Allí hay $x_0in X_2k$ tal que $xin B(x_0, 1/2k)$.
Por desigualdad triangular, tenemos $B(x_0, 1/2k)subseteq B(x, 1/k)subseteq U$.
Así hemos encontrado un miembro $B(x_0, 1/2k)$ de $B$ que contiene $x$ y está contenido en $U$, mostrando que $U$ puede escribirse como una unión de algunos de los miembros de $B$ y hemos terminado.
Necesitas redefinir tu $Bbb B$.
Para cada $nin Bbb N^+$ la cubierta abierta correspondiente $B(x,1/n),xin X$ admite una subcubierta finita $$B_n:=B(x_ni,1 /n),i=1,2,cdots,k_n$$ debido a la compacidad de $X$.
Ahora quiere mostrar que $Bbb B:=cup B_n$ es una base deseada.
Se ha demostrado la contabilidad en su intento, solo es suficiente para mostrar que $Bbb B$ es una base de hecho. Es decir, para todo subconjunto abierto $Usubconjunto X$ y para todo $xin U$, existe un miembro $Bin Bbb B$ tal que $$xin Bsubset U$$ Dado que existe $r>0$ tal que $B(x,r)subset U$, solo necesitamos encontrar un $B$ que esté completamente incluido en $B(x,r)$. Por $n$ tan grande que $1/n
En primer lugar, el comentario de Vim tiene toda la razón: es posible que necesite más de $n$, muchas bolas de radio $1over n$ para cubrir su espacio. Pero, por supuesto, esto no afecta el argumento, que solo necesita que haya finitamente muchos. Entonces, dejemos que $x_n, i$ ($ile k_n$) sean los centros correspondientes.
Sugerencia: si $U$ está abierto y $xin U$, entonces hay algún $s$ tal que $B(x, s)subseteq U$. Ahora elige $n$ “suficientemente grande” y $x_n, i$ tales que $xin B(x_n, i, 1over n)$; ¿Qué puedes decir sobre $B(x_n, i, 1over n)$ y $U$?
Una nota al margen interesante: este argumento también muestra que cualquier espacio metrizable compacto es separable (=tiene un subconjunto denso contable), y es fácil demostrar que si un espacio metrizable es separable entonces tiene una base contable. En espacios topológicos generales, esto no funciona: por ejemplo, la compactación Stone-Cech de $mathbbN$ (o la topología habitual en el conjunto de ultrafiltros en $mathbbN$) tiene una densidad contable subconjunto pero sin base contable. Los espacios métricos son especiales.
Si guardas alguna cuestión y capacidad de ascender nuestro escrito te inspiramos añadir una disquisición y con gusto lo leeremos.