Solución:
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No, no es diagonalizable. Si los dos valores propios de un $ 2 veces 2 $ la matriz era distinta, lo sería; cuando son iguales, es podría ser (pero en este caso no lo es).
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Los valores propios de un $ n veces n $ matriz resultan (como probablemente aprenderá pronto) para ser las raíces de un grado-$ n $ polinomio. Dado que cada grado$ n $ polinomio tiene $ n $ raíces (cuando se cuentan con multiplicidad, y permitiendo raíces complejas así como reales), esto significa que cada $ n veces n $ matriz tiene $ n $ valores propios (cuando se cuentan con multiplicidades algebraicas).
Por cierto, parece que ha hecho exactamente lo correcto para determinar cuántos autovectores hay que corresponden a una determinada evaluación; en general, no hay una forma obvia y sencilla de hacerlo, excepto buscar el espacio de solución de un sistema asociado de ecuaciones, como lo hizo.
INSINUACIÓN
Recuerde cuáles son los condiciones necesarias y suficientes para que una matriz sea diagonalizable y tenga en cuenta que aquí tenemos un valor propio $ 2 $ con multiplicidad aritmética $ 2 $ y multiplicidad geométrica $ 1 $, que es un eigenspace con dimensión $ 1 $.
- No. $ A – 2I $ tiene solo una columna linealmente independiente. (La segunda columna de $ A-2I $ es cero.)
- Para dar un ejemplo rápido, consideremos la matriz de rotación 2D. $$ begin {pmatrix} cos theta & – sin theta \ sin theta & cos theta \ end {pmatrix} $$ El espacio propio para una transformación lineal es un ejemplo de subespacio invariante. Ya que hay no apropiado subespacio invariante en rotación 2D, la matriz de rotación no tienen valores propios reales.