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Solución:
$D_24$ y $S_4$ no son isomorfos porque $D_24$ tiene un elemento de orden $12$ pero $S_4$ no.
Para demostrar que dos grupos son isomorfos, no es suficiente encontrar un homomorfismo entre ellos, aunque tengan el mismo orden. Por ejemplo, siempre puede elegir el homomorfismo trivial, que nunca es un isomorfismo (a menos que ambos grupos sean triviales). Para que un homomorfismo sea un isomorfismo, tiene que ser inyectivo y sobreyectivo. Si sabes de antemano que los dos grupos finitos tienen el mismo orden, entonces la inyectividad es equivalente a la sobreyectividad, así que solo tienes que marcar uno.
Dicho esto, creo que tuviste la siguiente idea: define un homomorfismo $phi:D_24 to S_4$ declarando que $phi(r) = sigma$ y $phi(s) = k$ y extender esto a todo el grupo. Para ser precisos, usaré los generadores $sigma = (1234), k=(12)$ para $S_4$. A primera vista, parece correcto porque las consideraciones de orden muestran que las relaciones $r^12 =1$ y $s^2 = 1$ se conservan. Sin embargo, este $phi$ no está bien definido porque la tercera relación $(rs)^2 = 1$ en $D_24$ no se conserva. En otras palabras, si $phi$ fuera un homomorfismo, deberíamos tener $1 = phi(1) = phi((rs)^2) = (sigma k)^2$. Sin embargo, $(sigma k)^2 = (143)$ no es el elemento de identidad en $S_4$. La moraleja de esta historia es: si desea definir un homomorfismo en los generadores de un grupo definido a través de una presentación, debe asegurarse de que todas las relaciones sean conservadas por su aspirante a homomorfismo.
$D_24$ y $S_4$ no son isomorfos, porque $S_4$ tiene un centro trivial, pero $D_24$ no; consulte esta pregunta: Centro del grupo diédrico
Dos grupos finitos (del mismo orden) que sean “homomórficos” no significa que sean “isomorfos”.
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