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Demuestre que cada subgrupo de un grupo abeliano es un subgrupo normal.

Solución:

La definición de un grupo normal es:

Un grupo $ H leq G $ es un subgrupo normal si para cualquier $ g en G $, el conjunto $ gH $ es igual al conjunto $ Hg $. De manera equivalente, también puede exigir $ H = gHg ^ {- 1} $.

Ahora, tome un subgrupo $ H $ de un grupo abeliano $ G $. Tome cualquier elemento $ x en gHg ^ {- 1} $. Por definición, este elemento debe ser igual a $ ghg ^ {- 1} $ para unos $ h en H $.

Ahora tienes $ x = ghg ​​^ {- 1} $, donde $ g en G $ y $ h en H $. ¿Puedes probar $ x en H $?

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