Solución:
Por favor, mire la imagen.
Puede que sea más fácil probarlo primero en el caso de que el punto “interior” esté realmente en uno de los bordes. Luego, el caso general sigue al cortar un triángulo equilátero más pequeño de modo que el punto interior se encuentre en el borde del mismo.
Así que asume el punto $ X $ está al borde $ overline {AB} $ de equilátero $ triángulo ABC $. Suelta las dos altitudes para conseguir dos puntos. $ Y $ sobre $ overline {AC} $ y $ Z $ sobre $ overline {BC} $, y deja $ M $ ser el punto medio de $ overline {BC} $. Luego $ triángulo XAY sim triángulo XBZ sim triángulo ABM $…
Editar: como solo quieres una pista, eliminé las líneas finales.
Este es el problema 189 del libro.
El problema 187 es
En un triángulo isósceles, la suma de las distancias desde cada punto de la base a los lados laterales es constante, es decir, es congruente con la altitud bajada a un lado lateral.
Aplicaremos el problema 187 (sin prueba).
De $ D $, dibuja la línea paralela a $ AB $. Considere el triángulo equilátero truncado. Por tanto, por el problema 187, $ DF + DG = AI $.
Por eso, $ DE + DF + DH = DE + AI = IH + AI = AH $.