Este dilema se puede resolver de variadas maneras, sin embargo te compartimos la resolución más completa para nosotros.
Solución:
Por cierto, la prueba dada arriba sí muestra que $T$ es único. Tal vez una redacción diferente del argumento podría ayudarlo a comprender la singularidad.
Dijiste que entendías la parte de la existencia, así que está bien, deja $T: V a W$ sea el mapa lineal que construiste, que satisface $T(v_j) = w_j$ para todos $j en 1, puntos, n$. Supongamos ahora que hay un mapa lineal $S: V a W$ tal que $S(v_j) = w_j$ para todos $j en 1, puntos, n$. Tenemos que demostrar que $T=S$; es decir, tenemos que demostrar que para cada $x en V$, $T(x) = S(x)$.
Para probar esto, elija cualquier $x en V$. Ya que $v_1, puntos, v_n$ es una base para $V$existen escalares (únicos) $c_1, puntos, c_n in F$ tal que
beginalign x = sum_i=1^n c_iv_i tag* endalign
Ahora, realizamos un cálculo simple:
beginalign T(x) &= Tleft( sum_i=1^n c_iv_i right) tagby
\ &= sum_i=1^n c_i T(v_i) tag$T$ es lineal por construcción \ &= sum_i=1^n c_i w_i tagpor definición de $T$ \ &= sum_i=1^n c_i S(v_i) tagpor supuesto sobre $S$ \ &= Sleft( sum_i=1^n c_i v_i right) tag$S$ lineal por supuesto \ &= S(x) tagby finalinearAsí que hemos demostrado que para cada $x en V$, $T(x) = S(x)$. Por eso, $T=S$ demostrando la unicidad del original
$T$
tú construiste.Este resultado a menudo se expresa como “una transformación lineal se especifica por sus valores sobre una base” o algo por el estilo.
Sección de Reseñas y Valoraciones
Finalizando este artículo puedes encontrar las explicaciones de otros sys admins, tú además puedes insertar el tuyo si te gusta.