Esta es la contestación más correcta que encomtrarás dar, pero primero mírala pausadamente y valora si es compatible a tu proyecto.
Solución:
La convergencia no es uniforme en $(-1,1)$, pero sí lo es en subconjuntos cerrados de los mismos. Primero examinamos la convergencia en el subintervalo cerrado $[-r,r]$ por $0
Sea $epsilon>0$. Entonces, tenemos para $xin [-r,r]$ por $0
$$beginalign left|S_n(x)-fracx1-xright|&=frac^n+1 \\ &le fracr^n+11-r\\ & siempre que $n>fraclog(1-r)+log(epsilon)log(r)-1$ Toma $epsilon=1/2$. Entonces, para todos los $N$ tomamos $x=(1/2)^1/(n+1)$ para $0 $$beginalign left|S_n(x)-fracx1-xright|&=frac^n+1 \\ &= frac1/21-(1/2)^1/n+1\\ &ge 1/2\\ &=epsilon end alinear$$ que niega la convergencia uniforme en el intervalo abierto $(-1,1)$ Creo que estás en el camino correcto, ten en cuenta que: $$ left|S_n(x)- fracx1-x right|=left| -fracx^n+11-x right| ge | x^n+1 | > 0 $$ por cada $x in (0,1) $ y cada $n in mathbbN$. Tomando los límites superiores mínimos básicamente da la solución. Entonces, tienes $$ leftlvert S_n(x) – S(x)rightrvert = leftlvert frac1-x^n1-x – frac11 -xrightrvert= leftlvert fracx^n1-xrightrvert $$ para todo $xin(-1,1)$. Ahora, considera $x_n stackrelrm def= 1-frac1nin(-1,1)$. Tenemos $$ sup_xin (-1,1)leftlvert S_n(x) – S(x)rightrvert geq leftlvert S_n(x_n) – S(x_n) derecharvert =leftlvert fracx_n^n1-x_nrightrvert = frac(1-frac1n)^nfrac1 n = n left(1-frac1nright)^n xrightarrow[ntoinfty]infty $$ entonces $sup_xin (-1,1)leftlvert S_n(x) – S(x)rightrvertnotxrightarrow[ntoinfty]0$, lo que significa que no hay convergencia uniforme en $(-1,1)$.
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