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Solución:
La clasificación de matrices reales $2times 2$ simétricas (o formas $2$ simétricas bilineales, o formas $2$ cuadráticas) a través de la traza y el determinante se puede obtener de diferentes maneras, dependiendo de la maquinaria que se acepte. De más a menos:
1) Teorema espectral. Entonces uno sabe que la clasificación se hace a través de valores propios. Por ejemplo semidefinido positivo significa dos autovalores positivos $lambda>0,mu>0$, que es equivalente a $lambdacdotmu>0,,lambda+mu>0$, que es determinante y traza ambos positivos. Honestamente, creo que para matrices de $2times 2$ esto es demasiado pesado.
2) Formas canónicas. Cualquier matriz real $2times 2$ simétrica $A$ es equivalente a una de las siguientes cinco formas canónicas $$ beginpmatrix1&0\0&1endpmatrix,, beginpmatrix-1&0\ 0&-1endpmatrix,, beginpmatrix1&0\0&0endpmatrix,, beginpmatrix-1&0\0&0endpmatrix,, beginpmatrix 1&0\0&-1endmatriz. $$ La matriz $A$ comparte con su forma canónica el signo del determinante (incluso siendo $0$). Así vemos que $det>0$ inmediatamente da $A$ definido, y queda por distinguir si $A$ es positivo o negativo. En cualquier caso, las dos entradas de la diagonal de $A$ tienen el mismo signo, de ahí el signo de su suma, que es la traza de $A$. Así $det(A)>0$, tr$(A)>0$ significa definida positiva.
3) Nada. En otras palabras, solo de la definición. Sea $A= beginpmatrixa&b\b&cendpmatrix$.
Entonces la forma cuadrática correspondiente es $q(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2$, y tenemos que estudiar las variaciones de signo de esta función para $(x,y)ne(0,0) ps Por ejemplo $f(x,0)=ax^2>0$ si y solo si $a>0$. Entonces si $yne0$ podemos escribir: $$ frac1y^2q(x,y)=at^2+2bt+c=P(t),quad t=frac xy, $$ y discutimos los signos de $P(t)$. Para $t$ suficientemente grande, $P(t)>0$, ya que $a>0$. Entonces $P(t)>0$ para todo $t$ significa que el polinomio no tiene cero, es decir, su discriminante es negativo, lo que da $$ 0>varDelta=b^2-ac=-det(A) . $$ Y obtenemos la condición $det(A)>0$. Pensando en esto, uno se da cuenta de que esto caracteriza ser semidefinido positivo (es decir, es un argumento de ida y vuelta). ¿Y rastrear? Desde $0
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