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Demostrar que un grupo es un subgrupo normal a partir de su orden

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Solución:

Considere el normalizador $N_G(H)$. Podemos decir eso $Hsubconjunto N_G(H)subconjunto G$.

Por el teorema de Lagrange, $|H|$ divide $|N_G(H)|$ que también divide $|G|$.

Ya que ps[G:H]=5$ es primo, no hay divisores intermedios entre $|H|$ y $|G|$por lo que concluimos que $|N_G(H)|$ debe ser uno de estos, entonces $N_G(H)$ es uno de $H$ o $G$. ¿Puedes terminar?

Asumo $a notin H$.

Si $a^2 in H taza aH$ después $H taza aH$ es un subgrupo de $G$. Por el teorema de Lagrange, esto es imposible. Del mismo modo, vemos que $a^3 notin H cup aH cup a^2H$ y $a^4 notin H cup aH cup a^2H cup a^3H$. Así, tenemos cinco clases laterales disjuntas de $H$ en $G$: $H$, $aH$, $a^2H$, $a^3H$, $a^4H$. Su unión es de todos $G$.

También, $a^kH = Ha^k$ para cada $k=0, 1, 2, 3, 4$. De este modo, $H$ es normal.

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