Luego de consultar con expertos en la materia, programadores de diversas áreas y maestros dimos con la respuesta al problema y la dejamos plasmada en esta publicación.
Solución:
La idea es correcta, pero creo que no está bien argumentada. Sin embargo, es principalmente un problema de notación, además de una debilidad que subrayaré más adelante.
Seguiría la pista, es decir, probar primero que el espacio tiene una base contable.
Para todos los enteros $n>0$, la cubierta abierta $N_1/n(p):pin K$ tiene una subcubierta finita; sea $X_n=x_n,1, x_n,2, dots, x_n,m(n)$ tal que $$ K=bigcup_i=1^ m(n)N_1/n(x_n,i) $$ Afirmo que el conjunto $$ mathcalB=bigcup_n>0biglN_1/ n(x_n,i):1le ile m(n)bigr $$ es una base contable para $K$. La contabilidad es obvia. Sea $pin K$ y $varepsilon>0$; queremos probar que existen $n>0$ y $i$ con $1le ile m(n)$ tal que $N_1/n(x_n,i)subseteq N_varepsilon (pag)$.
Tome $n$ tal que $1/n Ahora cada el espacio métrico que tiene una base contable es separable. Basta con tomar un punto en cada miembro (no vacío) de la base y este es un subconjunto denso, porque cada conjunto abierto es la unión de los miembros de la base, por lo que corta a este subconjunto numerable. $X_n = x_1_n, x_2_n, x_3_n, … x_j_n subconjunto K$ Esto debería decir algo como $X_n = x_1,n,dots,x_j_n,n$. Escribir $1_n$ y $2_n$ y así sucesivamente no tiene sentido. Ponemos subíndices en variables, no números. Este bit no tiene sentido: Como las opciones para $p in K$ y $varepsilon$ eran arbitrarias, cualquier vecindad alrededor de cada punto en $K$ debe intersecar un subconjunto contable $X$. ¿Qué es $X$? ¿Depende de $p$? en $varepsilon$? Tal vez quieras decir que $X = bigcup_n ge 1 X_n$ pero luego has definido $n$ basado en $varepsilon$ cuando no deberías haberlo hecho. También parece estar confundiendo “base contable” con “conjunto denso contable” cuando se trata de cosas diferentes. Una base contable es una colección contable $B$ de conjuntos abiertos tal que cada conjunto abierto se puede escribir como una unión de conjuntos en $B$. Por ejemplo $B = (a, b) : a < b text and a, b in mathbfQ $ es una base contable para la topología de $mathbfR$. Lo que tendrás son conjuntos $X_n = x_1,n,dots,x_j_n,n$ tales que $$ K = bigcup_i = 1^j_n N_1 /n(x_i,n). $$ Entonces $$ B = N_1/n(x_i,n) : n in mathbfN, 1 le i le j_n $$ es una base contable y $ $ X = x_i,n : n in mathbfN, 1 le i le j_n $$ es un conjunto denso numerable. Te invitamos a añadir valor a nuestro contenido contribuyendo tu experiencia en las acotaciones.
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