Traemos la mejor información que hallamos por todo internet. Queremos que te resulte útil y si quieres compartir algo que nos pueda ayudar a perfeccionar nuestra información hazlo con libertad.
Dejar $mu$ sea la media de la población (por lo que se supone que existe), y suponga que la distribución es simétrica y hay una densidad. (Entonces, esas son suposiciones más débiles que la normalidad, y tal vez la suposición de densidad también se pueda descartar). $X_1,ldots,X_n$ ser la muestra; dejar $Y_i=X_i-mu$ por $i=1,ldots,n$. Dejar $m=operatornameE(operatornamemediana)=operatornameE(operatornamemediana(Y_1,ldots,Y_n))$. Por simetría de la distribución de los $Y$se trata de $0$, $-m=nombre del operadorE(-nombre del operadormediana)=nombre del operadorE(nombre del operadormediana)$. Ya que $m=-m$Debemos tener $m=0$. Ya que $nombre del operadorE(nombre del operadormediana)=0$Concluimos $nombre del operadorE(nombre del operadormediana(X_1,ldots,X_n))$$=nombre del operadorE(nombre del operadormediana(Y_1+mu,ldots,Y_n+mu))$$=nombre del operadorE(mu + nombre del operadormediana(Y_1,ldots,Y_n))=mu$.
Sean $Z_i$, $1 leqslant i leqslant n$ variables normales independientes distribuidas idénticamente con media $mu$ y varianza $sigma^2$, y sea $Z_k:n$ $k$-th estadísticas de pedidos.
Consideramos por separado el caso de par $n$ e impar $n$.
Sea $n$ impar, es decir, $n = 2m+1$. Entonces la mediana muestral corresponde a $M = Z_m+1:2m+1$. La densidad de probabilidad de esta estadística de orden es: $$ f_M(x) = (m+1) binom2m+1m f_X(x) left( F_X(x) (1-F_X( x)) right)^m $$ Dado que $F_X(x) = 1-F_X(2mu-x)$, obtenemos claramente $f_M(x) = f_M(2mu -x)$ por simetría, y por lo tanto $$ mathbbE(M) = mathbbE(2 mu -M) implica mathbbE(M) = mu $$
Ahora considere el caso de incluso $n$, es decir, $n = 2m$. Entonces la mediana muestral corresponde a $M = frac12 left( Z_m:2m + Z_m+1:2m right)$. La densidad de probabilidad conjunta es: $$ f_Z_m:2m, Z_m+1:2m(x_1,x_2) = m^2 binom2mmf_X(x_1) f_X(x_2) ) izquierda(F_X(x_1) (1-F_X(x_2))derecha) ^m-1 [ x_1 leqslant x_2 ]
$$ Claramente, nuevamente $f_Z_m:2m, Z_m+1:2m(x_1,x_2)=f_Z_m:2m, Z_m+1:2m(2 mu – x_2,2 mu – x_1)$ por simetría, por lo tanto $$ mathbbE(M) = mathbbEleft( frac Z_m:2m + Z_m+1 :2m2 right) = mathbbEleft( frac (2mu-Z_m+1:2m) + (2mu – Z_m:2m) 2 right) = mathbbE(2mu – M) $$ Esto nuevamente implica que $mathbbE(M) = mu$ como consecuencia de la simetría.
Adicional: El normalidad La suposición no se usó en la demostración anterior, por lo que la prueba es válida para cualquier variable aleatoria continua con densidad de probabilidad simétrica y media finita.
Si te animas, puedes dejar una crónica acerca de qué te ha impresionado de este escrito.