Ya no tienes que buscar más por todo internet ya que estás al sitio correcto, poseemos la solución que buscas pero sin liarte.
Solución:
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No, no es diagonalizable. Si los dos valores propios de un $ 2 veces 2 $ matriz fuera distinta, sería; cuando son iguales, puede que ser (pero en este caso no lo es).
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Los valores propios de un $n veces n$ matriz resultan (como probablemente aprenderá pronto) para ser las raíces de un grado-$n$ polinomio. Desde cada grado-$n$ polinomio tiene $n$ raíces (cuando se cuenta con multiplicidad, y teniendo en cuenta tanto las raíces complejas como las reales), esto significa que cada $n veces n$ matriz tiene $n$ valores propios (cuando se cuentan con multiplicidades algebraicas).
Por cierto, parece que ha hecho exactamente lo correcto para determinar cuántos vectores propios hay que corresponden a un valor dado; en general, no existe una forma obvia y sencilla de hacerlo excepto buscar el espacio de solución de un sistema de ecuaciones asociado, como lo hizo usted.
INSINUACIÓN
Recuerda cuales son los condiciones necesarias y suficientes para que una matriz sea diagonalizable y tenga en cuenta que aquí tenemos un valor propio $2$ con multiplicidad aritmética $2$ y multiplicidad geométrica $1$que es un espacio propio con dimensión $1$.
- No. $A – 2I$ tiene una sola columna linealmente independiente. (La segunda columna de $A-2I$ es cero.)
- Para dar un ejemplo rápido, consideremos la matriz de rotación 2D. $$beginpmatrixcos theta &-sin theta \sin theta &cos theta \endpmatrix$$ El espacio propio para una transformación lineal es un ejemplo de subespacio invariante. Ya que hay no apropiado subespacio invariante en rotación 2D, la matriz de rotación no tienen valores propios reales.
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