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Demostrar que el centro de un grupo es un subgrupo normal

Por fin después de tanto luchar ya hallamos la contestación de este rompecabezas que algunos los lectores de nuestro sitio tienen. Si tienes algo más que aportar no dejes de compartir tu información.

Solución:

Como dijiste en un comentario ya demostraste que es normal. Así que solo mostraré que es un subgrupo.

Claramente contiene $e$, ya que $eg = ge$.

Ahora, mostraremos que está cerrado. Sea $a,b in H$, sabemos que $para todo g: ag = ga$ y $gb = gb$. Por tanto, $gab = agb = abg$ y por tanto $ab in H$.

Ahora solo nos queda demostrar que todo $h in H$ tiene inversa y listo. Sea $h in H$, sabemos que $forall g in G: gh = hg$, entonces $$beginalign*h^-1(gh)h^-1 &= h^-1(hg)h^-1\ h^-1g(hh^-1) &= (h^-1h)gh^-1 h^-1(ge) &= (p. ej.)h^-1\ h^-1g &= gh^-1 endalign*$$

Lo que implica que $h^-1 in H$.

sxd ha demostrado que es un subgrupo.

Que es normal se deduce de aquí:

Sea $xin Z(G)$ (centro de $G$).

Entonces, para cualquier $gin G$, $gxg^-1=gg^-1x=xin Z(G)$.

Esto prueba que $Z(G)$ es un subgrupo normal.

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