Nuestros investigadores estrellas han agotado sus reservas de café, por su búsqueda todo el tiempo por la respuesta, hasta que Fátima halló el resultado en Gitea y hoy la compartimos con nosotros.
Solución:
“Incontable” simplemente significa “no contable”, donde contable es el infinito más pequeño. Si demuestras que $(a,b)$ es incontable y que $BbbR$ es incontable, no has demostrado que tienen la misma cardinalidad.
Tú necesitar exhibir una biyección. Esa es la definición misma de “misma cardinalidad”. Cualquier forma en que demuestre que los dos tienen la misma cardinalidad exhibirá, al menos implícitamente, una biyección.
“Misma cardinalidad” medio que hay una biyección. Entonces estás preguntando si puedes mostrar que hay una biyección entre estos dos conjuntos, pero sin mostrar que hay una biyección entre estos dos conjuntos. Tú tener usar una biyección. Cualquier teorema, lema, etc. DEBER use biyecciones, ya que esa es la definición misma. Lo que estás preguntando es como preguntar “¿puedes mostrar que 2 es par, sin mostrar que 2 es par?”.
Edito, para una biyección explícita te dejo la construcción completa (ya que es algo tediosa), pero podrías tener algo como:
$$f(x)=begincases frac1xa text para xin (a,a+mu/4)\ text término de conexión lineal para xin [a+mu/4,a+3mu/4]\ frac1xb text para xin (a+3mu/4,b) endcasos$$
donde $mu$ es la longitud del intervalo.
Considere la función
$$g(x)=fracx1+$$ Verifica que $g$ es una biyección de números reales a $(-1,1)$.
Esta es una vieja pregunta, pero hay una biyección muy simple sin funciones trigonométricas. Considere $f:(0,1) to mathbbR$ dado por
$$f(x) = begincasos frac12x & 0
Si quiere $(a,b)$, es, por supuesto, simplemente una cuestión de escalar/cambiar.