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Solución:
En primer lugar, usaré $y$ en lugar de $xi$ porque amo mis ojos y usaré $e$ para $varepsilon$ porque es más fácil de escribir. Espero que no te ofendas por eso.
Creo que usan algún tipo de desigualdad triangular de la forma, $|xy| + |y| geq |x|$ y $x^TAxleqlambda_maxx^Tx$. Pero no pude verlo y dudo que CS sea necesario de todos modos. Hagamos el trabajo sucio, lleve el LHS a la derecha y denote esa expresión con $(star)$, luego: $$beginalign (star) &geq -x^TAx +y^T(A +e A^2)y+(xy)^Tleft(frac1eI + A right)(xy) \ &=y^T(A+e A^2)y+(xy )^Tfrac1eI(xy) + y^TAy – 2x^TAy\ &=y^TA(I+e A)y+y^TAy + frac1e y^Ty-2frac1ex^Ty+frac1ex^Tx-2x^TAy\ &=y^TA(I+e A)y + y^T( frac1eI+A)y -2x^T(frac1eI+A)y + frac1ex^Tx\ &= frac 1ey^T(I+e A)^2y -2frac1ex^T(I+eA)y + frac1ex^Tx\ & =frac1e|x-(I+eA)y|^2\ &geq 0 endalign $$
Para ser honesto, este tipo de esnobismo matemático me enferma. Tal vez haya un argumento directo usando la desigualdad CS. Entonces sería más corto que esto, así que ¿por qué no incluirlo en el documento? Pero de todos modos, espero que ayude.
EDITAR: por cierto, la definición de la norma se da en la página 17.
Solo publico esta respuesta porque preguntaste cómo probar esto usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Este es el mejor argumento que se me ocurrió (y no hay mucha diferencia con el argumento de percusse, por supuesto).
Escribe $B = varepsilon A$ y multiplica la desigualdad por $varepsilon gt 0$ para obtener $DeclareMathOperatorepsvarepsilon$ $$langle Bx,x rangle leq langle (B+ B^2)xi,xi rangle + (1 + |B|), |x – xi|^2.$$
Ahora estime usando la condición de simetría $langle Sy,zrangle = langle y, Szrangle = langle Sz,yrangle$ varias veces $$beginalign* langle Bx, xrangle & leq langle Bx, xrangle + |(1+B)xi – x|^2 \ %&= %langle Bx, xrangle+ %|(1+B)xi|^ 2-2langle(1+B)xi,xrangle +|x|^2\ &= colorverdelangle Bx, xrangle+ colorred langle (1+B)xi,xirangle+ colorazullangle(1+B)xi,Bxirangle- colorred2langle(1+ B)xi,xrangle+colorverdelangle x,xrangle \ &=colorazullangle(B+B^2)xi,xirangle + colorrojolangle(1+B)xi,xi-xrangle- colorrojolangle(1+B)xi,xrangle+ color verdelangle(1+B)x,xrangle \ &=langle(B+B^2)xi,xirangle+ langle(1+B)(xi-x), xirangle -langle(1+B)(xi-x),xrangle \ &=langle(B+B^2)xi,xirangle + langle (1+B) (xi-x),xi-xrangle. endalign*$$ Ahora estamos en condiciones de aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz: $$langle(1+B)(xi-x),xi-xrangle leq |(1+ B)(xi-x)|,|xi-x|.$$ Usando $|(1+B)(xi-x)| leq |1+B|,|xi-x| leq (1+|B|)|xi-x|$ por definición de la norma del operador, obtenemos $$langle Bx,xrangle leq langle(B+B^2) xi,xirangle + (1+|B|),|xi-x|^2,$$ como se desee.
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