Demostración de la continuidad de $e^x$

Posterior a consultar expertos en la materia, programadores de diversas áreas y profesores hemos dado con la respuesta al dilema y la compartimos en esta publicación.

Solución:

Infinidad de funciones continuas sumadas no implica que el resultado también sea continuo. Tome la serie de Fourier de una función de onda cuadrada, por ejemplo. Todos los términos son continuos pero el resultado no lo es.
$$f(x)=frac4pisum_n=1,3,5,…{frac1nsin(fracnpi x L)$$

Aquí hay otro enfoque. Ya que $exp x:=sum_nge0fracx^nn!$ converge para todos $x$ por la prueba de la razón, y puedes mostrar $exp xexp h=exp (x+h)$ con el teorema del binomio, solo necesitamos mostrar continuidad en $0$ya que si $|h| después $|h|. Por la desigualdad triangular,$$|exp h-1|=left|sum_nge1frach^nn!right|lesum_nge1frac^ nn!le2sum_nge1left(frac2right)^n=frac le 2|h|$$Para pequeños $h$.

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