[*]Al fin después de tanto luchar ya encontramos la solución de este contratiempo que muchos lectores de nuestra web presentan. Si deseas aportar alguna información no dejes de aportar tu comentario.
Solución:
[*]De hecho, Gauss agrega una nota a pie de página a esta afirmación “si una rama de una curva algebraica entra en un espacio limitado, necesariamente tiene que salir de nuevo” (el original en latín sigue a continuación), en la que argumenta que:
[*]Parece estar bien demostrado que una curva algebraica no termina abruptamente (como sucede en la curva trascendental $ y = 1 / log x $), ni se pierde después de un número infinito de vueltas en un punto (como una espiral logarítmica) . Hasta donde yo sé, nadie ha dudado nunca de esto, pero si alguien lo requiere, me encargo de presentar, en otra ocasión, una prueba indudable.
[*]Como explica Harel Cain (ver también Steve Smale), este esquema de la demostración muestra que la demostración geométrica de Gauss del FTA se basa en suposiciones sobre las ramas de las curvas algebraicas, que pueden parecer plausibles para la intuición geométrica, pero que se dejan sin ningún rigor. prueba de Gauss. Alexander Ostrowski tardó hasta 1920 en demostrar que todas las suposiciones hechas por Gauss pueden estar plenamente justificadas.
[*]Alexander Ostrowski. Über den ersten und vierten Gauss’schen Beweis des Fundamental satzes der Algebra. (Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften Göttingen, 1920).
[*]Aquí está el original en latín y una traducción al inglés de
[*]Carl Friedrich Gauss. Demonstratio nova teorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (tesis doctoral, Universitat Helmstedt, 1799); párrafo 21 y nota a pie de página 10.
[*]Iam ex geometria sublimori constat, quamuis curvam algebraicam, (sive singulas cuiusuis curvae algebraicae partes, si forte e pluribus composita sit) aut in se redientem aut utrimque in infinitum excurrentem esse, adeoque si ramus aliquis curvae algebraicae in Spatium in needtret hoc Spatio rursus alicubi exire debere. [*]
[*][*] Satis bene certe demonstratum esse videtur, curvam algebraicam neque alicubi subito abrumpi posse (uti eg evenit in curva transscendente, cuius aequatio $ y = 1 / log x $), neque post spiras infinitas in aliquo puncto se quasi perdere (ut spiralis logarithmica) , quantumque scio nemo dubium contra rem movit. Attamen si quis postulat, demonstrationem nullis dubiis obnoxiam alia chancee tradere suscipiam.
[*][English translation]:
[*]Pero de acuerdo con las matemáticas superiores, cualquier curva algebraica (o las partes individuales de tal curva algebraica si tal vez consta de varias partes) se vuelve a sí misma o se extiende hasta el infinito. En consecuencia, una rama de cualquier curva algebraica que entra en un espacio limitado, necesariamente debe salir de este espacio en algún lugar. [*]
[*][*] Parece que se ha demostrado con suficiente certeza que una curva algebraica no puede romperse repentinamente en ningún lugar (como sucede, por ejemplo, con la curva trascendental cuya ecuación es $ y = 1 / log x $) ni perderse, por así decirlo, en algún punto después de un número infinito de bobinas (como la espiral logarítmica). Hasta donde yo sé, nadie ha planteado dudas al respecto. Sin embargo, si alguien lo solicita, me comprometo a dar una prueba que no esté sujeta a dudas, en otra ocasión.
[*]Pronto aparecerá una versión “moderna” de la prueba en American Mathematical Monthly (Autores: Daniel J. Velleman y Soham Basu). Aquí está el enlace arxiv. El esquema es el siguiente:
- Obtenga un polinomio real auxiliar para cualquier polinomio complejo $ f (z) = sum_ n = 0 ^ N c_ n z ^ n $ de la siguiente manera $ tilde f (z) = ( sum_ n = 0 ^ N c_ n x ^ n) ( sum_ n = 0 ^ N bar c_ n x ^ n) $
- Gauss ya mostró que los ceros de las partes real y compleja de $ tilde f (z) $ se entrelazan para cualquier $ lvert z rvert = R $ para $ R> 0 $ suficientemente grandes. Ciertamente, la condición de entrelazado falla para $ R = 0 $.
- Hay un subconjunto de $ R $ que satisface el entrelazado que es un intervalo medio abierto abierto hacia $ + infty $. La teoría de los números reales dice que este conjunto tiene un límite superior mínimo $ R_ 0 $. Un análisis más detallado (especialmente las consideraciones de continuidad de los ceros de la parte real y compleja) muestra que la única posibilidad de que el entrelazado falle en $ R_ 0 $ es cuando las partes real y compleja del polinomio tienen un cero común en $ R_ {0 PS
[*]
[*]También hay una prueba alternativa en el próximo artículo que utiliza contornos de líneas rectas en lugar de círculos. Espero que la información sea suficiente para construir una prueba “moderna”. Estaré encantado de explicarle si alguno de los puntos necesita una mayor aclaración.
[*]$ def RR mathbb R def CC mathbb C $ No estoy seguro de que esto sea útil, pero hace unos años pensé en lo que se necesitaría para dar rigurosamente esta prueba en un curso de Cálculo Multivariable con Honores (el tipo en el que todo se prueba). Esto es lo que se me ocurrió. Sea $ f: CC to CC $ un polinomio de grado $ n $. Resulta conveniente hacer la siguiente suposición simplificadora: dejando que $ w_1 $, $ w_2 $, …, $ w_k $ sean los ceros de $ f ‘$, ninguno de $ f (w_i) $ es puramente real o puramente imaginario. Esto es posible porque, si $ f (w_i) = 0 $ hemos terminado, y de lo contrario podemos reemplazar $ f $ por $ e ^ i theta f $ por unos $ theta $ genéricos.
[*]Sea $ R = f ^ – 1 ( RR) $ y $ I = f ^ – 1 (i RR) $. El argumento que estamos tratando de hacer riguroso es “casi infinito, $ R $ y $ I $ parecen radios intercalados de $ 4n $, por lo que deben cruzar en algún lugar del interior”. El teorema de la función implícita muestra que $ I $ y $ R $ son subvariedades unidimensionales cerradas de $ CC $. (Es por eso que requerimos que los ceros de $ f ‘$ sean separados de $ I cup R $.)
[*]Desde esta perspectiva, podemos ver que sería malo si uno de los componentes de $ R $, por ejemplo, se detuviera en un punto o girara en espiral infinitamente hacia un punto; los necesitamos para desconectar $ mathbb C $ .
[*]He escuchado a gente decir que arreglar esta prueba se reduce a probar el teorema de la curva de Jordan en la forma “Si $ phi: RR to CC $ y $ psi: RR to CC $ son mapas suaves que son intercalados en el infinito, entonces $ phi ( RR) $ y $ psi ( RR) $ se cruzan. De hecho, afirmo que lo difícil es mostrar que los componentes ilimitados de $ R $ pueden estar parametrizados por $ RR $ en primer lugar, ¡y que cada componente tiene dos extremos!
[*]Primero, veamos por qué las cosas son fáciles si asumimos que existe tal parametrización. Sea $ Gamma $ un componente conectado de $ R $ que toca uno de los radios ilimitados. Supongamos que pudiéramos mostrar que hay una parametrización $ phi: RR to Gamma $. Tenga en cuenta que el compuesto $ f circ phi: RR to RR $ no tiene derivada que se desvanezca en ninguna parte, por lo que es monótono y sin pérdida de generalidad podemos asumir que está aumentando. Si sabemos que $ Gamma $ es ilimitado en ambas direcciones (que es lo que se asume implícitamente cuando dibuja una imagen de $ R $ como un grupo de hebras que conectan los radios en el infinito), entonces no hay necesidad de usar el Jordan teorema de la curva: simplemente aplica el teorema de la función implícita a $ f circ phi $! Tenemos $ lim_ t to pm infty f ( phi (t)) = pm infty $, así que en algún lugar en el medio $ f ( phi (t)) = 0 $ y ganamos.
[*]Entonces, el verdadero desafío es mostrar que $ Gamma $, una subvarietal $ 1 $ -dimensional conectada e ilimitada de $ CC $, se puede parametrizar con $ RR $ y va a $ infty $ en ambas direcciones. Busqué varias pruebas de la clasificación de colectores dimensionales de $ 1 $, pero todas parecían un poco más desordenadas de lo que quería hacer en clase.
[*]Luego se me ocurrió la idea de simplemente intentar invertir el mapa $ f: Gamma a RR $, que es como se me ocurrió este argumento. Debo admitir, sin embargo, que los orígenes geométricos ya no son visibles.
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