Solución:
La fórmula se puede escribir como $$ g = binom {n + p-1} {p-1} $$; corresponde al número de composiciones débiles del entero $ n $ en $ p $ enteros. Por lo general, se obtiene mediante el método de estrellas y barras:
Desea encontrar la cantidad de formas de escribir $ n = n_1 + cdots + n_p $ con $ n_j in mathbb {N} _0. $ Para encontrar esto, imagina tener $ n $ estrellas ($ star $) y barras $ p-1 $ ($ | $). Entonces, cada composición corresponde a una forma de colocar las barras $ p-1 $ entre las estrellas $ n $. El número $ n_j $ corresponde entonces al número de estrellas en el $ j $ -ésimo `compartimiento ‘(separados por las barras).
Por ejemplo ($ p = 3, n = 6) $:
$$ estrella estrella | estrella estrella estrella | star quad Rightarrow quad n_1 = 2, n_2 = 3, n_3 = 1 $$ $$ star | estrella estrella estrella estrella estrella | quad Rightarrow quad n_1 = 1, n_2 = 5, n_3 = 0. $$
Ahora bien, es bien sabido que elegir la posición de las barras $ p-1 $ entre los objetos $ n + (p-1) $ (estrellas y barras) corresponde al coeficiente binomial dado anteriormente.
En general, los estados base de un oscilador armónico $ p $ -dimensional que contiene un total de $$ n_1 + n_2 + ldots n_p = N $$ bosones de un solo tipo es simplemente $ vert n_1n_2 ldots n_p rangle $.
Dado que los operadores de preservación de números $ {C_ {ij} = a_i ^ dagger a_j; i, j = 1, ldots, p } $ abarcan el álgebra de Lie $ u (p) $, todos los estados con $ n_1 + n_2 + ldots n_p = N $ están en el mismo $ u (n) $ irrep, y la dimensión es precisamente el número de formas en que puede dividir $ N $ en $ p $ piezas no negativas. Estos irreps se denotan por $ (N, 0,0, … 0_ {p-2}) $ en la literatura matemática estándar. @Fabian proporcionó una expresión de forma cerrada para la dimensión de tipo de irrep en su respuesta.
Se produce una situación interesante si permite más de un tipo de bosones. Por ejemplo, se pueden usar dos tipos de bosones y construir (como se hizo en este artículo) $ su (3) $ irreps del tipo $ ( lambda, mu) $, con el segundo índice distinto de cero, con $ N = lambda + 2 mu $ excitaciones totales. La dimensionalidad de $ ( lambda, mu) = frac {1} {2!} ( Lambda + 1) ( mu + 1) ( lambda + mu + 2) $.
En $ su (4) $, los irreps generales son del tipo $ ( lambda, mu, sigma) $ y la dimensión de dicho irrep, que requiere tres tipos de bosones para construir, es $$ hbox {dim } ( lambda, mu, sigma) = frac {1} {12} (1 + lambda) (1 + mu) (1 + sigma) (2 + lambda + mu) (2 + mu + sigma) (3 + lambda + sigma + mu) $$.
Por supuesto, esto colapsa al esperado $ (p + 3) (p + 2) (p + 1) / 6 $ cuando $ mu = sigma = 0 $.
Un buen lugar para buscar este tipo de cosas es el artículo de revisión de Richard Slansky, Teoría de grupos para la construcción de modelos unificados, donde se dan todo tipo de dimensionalidades.
La disminución también viene dada por el coeficiente de $ x ^ n $ en la función de partición $ 1 / (1-x) ^ p $. Esta, a su vez, es la expresión dada anteriormente por el teorema del binomio para $ (1-x) ^ {- p} $.