Solución:
Me sorprende que nadie haya respondido todavía, así que permítanme decir (lo que me parece) lo obvio: (2) es la única definición razonable de sub-coalgebra que tiene sentido en general. Dijo de otra manera que quieres $ Delta: D rightarrow C otimes C $ factorizar a través $ D otimes D rightarrow C otimes C $. La definición en sus notas es un descuido o un abuso de lenguaje, diría yo.
Como sugiere მამუკა ჯიბლაძე, carbongebras en $ R $-mod son los mismos que las álgebras en $ R-mod ^ op $, y no requiere que el último mapa sea inyectivo de la misma manera que para un álgebra cociente $ A flecha derecha B $ normalmente no necesitas $ A otimes A rightarrow B otimes B $ ser sobreyectiva también (¿por qué lo harías?). Por supuesto, para álgebras sobre un anillo conmutativo, esto es automáticamente true, pero no lo es true para categorías monoidales simétricas cuyo producto tensorial no es exacto, que es exactamente lo que sucede para $ R-mod ^ op $.
La desventaja es que la estructura de la coalgebra en una sub-coalgebra puede no estar determinada de forma única, es decir, es posible tener dos estructuras de coalgebra diferentes en $ D $ por lo cual la inclusión $ D flecha derecha C $ es un mapa de coalgebra. En otras palabras, la factorización del mapa $ D rightarrow C otimes C $ puede que no sea único. Algo relacionado, si $ C $ no es plano, entonces su categoría de comódulos podría no ser abeliana.
Véase, por ejemplo, Wischnewsky, Sobre representaciones lineales de grupos afines. I. para una referencia donde esto está cuidadosamente redactado.
Tienes razón.
En el caso de un $ R $-submódulo $ D $ de un $ R $-coalgebra $ C $, la definición correcta de $ D $ siendo una subcoalgebra de $ C $ es su definición (2) y no la publicada en sus notas. Esto es estándar en la literatura contemporánea: ver, por ejemplo, p. 11, secc. 2.7 de 1.
La definición mencionada en sus notas es válida (como ya ha mencionado en el OP) para espacios vectoriales y casos especiales para $ R $-coalgebras (cuando $ D $ es plano o puro como un $ R $-submódulo por ejemplo).
De hecho, el problema es el que mencionas: en general, la restricción de la multiplicación de $ C $ para $ D $, es decir $ Delta vert _D: D a C otimes C $, no necesariamente se “eleva” a un mapa $ Delta vert _D: D a D otimes D $. Esto puede suceder, incluso en los casos en los que $ Delta (D) $ está contenido dentro de la imagen del mapa canónico $ D otimes_R D a C otimes_R C $.
Un ejemplo relevante (atribuido a Warren Nichols) es el siguiente: Considere la $ mathbb Z $-módulo $ C = mathbb Z / 8 mathbb Z oplus mathbb Z / 2 mathbb Z $ y denotar $ x = (1,0) $, y $ z = (0,1) $. Una comultiplicación $ Delta: C a C otimes_ mathbb Z C $ es definido por $ Delta (x) = 0 $ y $ Delta (z) = 4x veces x $. Entonces $ Delta (z) $ tiene orden $ 2 $ en $ C otimes_ mathbb Z C $. Entonces, deja $ y = 2x $ y toma el $ mathbb Z $-submódulo $ D = mathbb Z y + mathbb Z z subconjunto C $. Ahora, $ Delta (z) = y veces y $ y $ Delta (D) $ está contenido en la imagen de $ D otimes_ mathbb Z D to C otimes_ mathbb Z C $ pero la restricción $ Delta | _ D $ no se eleva (o: no factoriza) a una multiplicación $ Delta: D a D otimes_ mathbb Z D $, ya que podemos ver que cualquier preimagen de $ y otimes y $ en $ D otimes_ mathbb Z D $ tiene orden $ 4 $.
(Este ejemplo fue sugerido por primera vez por Nichols en 2, p.56 y también se cita como ejercicio en 1).
Editar: Otro fenómeno interesante, relacionado con la definición, de un $ R $-subcoalgebra (definición (2) del OP), es el hecho de que después de esto, el $ R $-subcoalgebra $ D $ de El $ R $-coalgebra $ C $ no está determinado de forma única: en otras palabras, el mismo $ R $-submódulo puede corresponder a subcoalgebras no isomorfas. Esto ya se ha mencionado y explicado suficientemente en la respuesta de Adrien. Pensé que podría ser interesante incluir un ejemplo de este “fenómeno” (que se sugiere nuevamente en 2 y se cita como ejercicio en 1):
Considera el $ mathbb Z $-módulo $ C = mathbb Z oplus mathbb Z / 4 mathbb Z $ y convertirlo en una coalgebra estableciendo $ g = (1,0) $ ser un grupo y $ x = (0,1) $ ser $ g $-primitivo. Luego, toma el submódulo $ D subconjunto C $ que es atravesado por $ g $ y $ 2x $. Entonces, $ D cong mathbb Z oplus mathbb Z / 2 mathbb Z cong mathbb Z oplus 2 mathbb Z / 4 mathbb Z $. Hay (al menos) dos formas diferentes de hacer $ D $ en una coalgebra: O considere $ g $ ser un grupo y $ 2x $ ser $ g $-primitive (esto corresponde a la restricción del mapa original de $ C $ en $ D $), o tomar de nuevo $ g $ ser grupal y definir
$$ Delta (2x) = g otimes (2x) + (2x) otimes (2x) + (2x) otimes g y epsilon (2x) = 0 $$
Ambas opciones hacen $ D $ en una coalgebra y en ambos casos se puede mostrar fácilmente que la inclusión $ D hookrightarrow C $ es un morfismo de coalgebra. Entonces, $ D $ se convierte en un $ mathbb Z $-subcoalgebra de $ C $ en (al menos) dos formas diferentes. Además, estos no son isomorfos entre sí, ya que la segunda estructura tiene un elemento grupal adicional; este es $ g + (2x) $.
Referencias:
- Corings y comodules, T. Brzezinski, R. Wisbauer,
- Nichols, WD, Sweedler, M., Álgebras de Hopf y combinatoria, AMS, en: “Cálculo Umbral y Álgebras de Hopf“, Contemp. Math. 6, 49–84 (1982)
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