Te damos la bienvenida a nuestra página, en este lugar vas a hallar la respuesta a lo que estabas buscando.
Solución:
Te daré suficientes pistas para completar la prueba tú mismo. Si está desesperado, estoy siguiendo las notas de Zuber, que están disponibles en línea, IIRC.
Comencemos con algo de notación: elija alguna base $t_a$ de su álgebra de Lie, luego $$ [t_a,t_b] = C_ab^c t_c$$ define las constantes de estructura. Si define $$ g_ab = C_ad^e C_be^d,$$ entonces esto le da un producto interno $$(X,Y) := g_ab x ^ay^b, quad X = x^a t_a text y Y = y^b t_b.$$ De hecho, esta “forma de matar” está relacionada con la representación adjunta, como $$(X,Y) = texttr(textanuncio X textanuncio Y)$$ (¡ejercicio!). De manera similar, $$g_ab =texttr(textad t_a text ad t_b).$$ En este lenguaje, el Casimir $c_2$ viene dado por $$ c_2 = g^ ab t_a t_b, qquad text so$$ $$[c_2,t_e] = g^ab [t_a t_b,t_e].$$ Ahora necesita hacer un trabajo básico (expandir el primer factor del conmutador, resolver los paréntesis resultantes) y verá que esto le da $$ ldots = g^ab g^dk C_bek t_a,t_d .$$ Esto desaparece (¿por qué?), ¡así que ya está!
Editar (con respecto al comentario de Peter Kravchuk): cuando escribes $c_2 sim t_a t_b$, en realidad no es parte del álgebra de Lie. La única multiplicación que “funciona” en álgebras de Lie es el conmutador $[t_a,t_b]ps Así que estos muchachos viven en una estructura más rica, que se llama “álgebra envolvente universal”. De hecho, a menudo escuchas que “el Casimiro es un múltiplo de la matriz identidad”, pero la matriz identidad rara vez es parte del álgebra de Lie (la identidad en un álgebra de Lie es 0). En la práctica, todo es evidente, porque haces cálculos en algún espacio vectorial.
I) Los invariantes de Casimiro de un álgebra de Lie $L$ sobre un campo $mathbbF$ son los elementos centrales del álgebra envolvente universal $U(L)$.
Ejemplo: El cuadrado del momento angular $vecJ^2$ es una invariante cuadrática de Casimir del álgebra de Lie $L=sl(2,mathbbC)$.
II) Dada una forma bilineal asociativa/invariante $B:Ltimes Lto mathbbF$, se puede crear una invariante cuadrática de Casimir, como se explica en esta página de Wikipedia.
Un álgebra de Lie simple tiene una forma asociativa/invariante bilineal única (hasta un factor de normalización general), a saber, la forma Killing. Como consecuencia, un álgebra de Lie simple tiene un invariante de Casimir cuadrático único (hasta un factor de normalización general)
$$C_2 ~:=~ t_a otimes t^a~in~ U(L), qquad t^a~:=~(kappa^-1)^ab t_b, qquad kappa_ ab~:=~rm tr(rm ad t_acircrm ad t_b). $$
III) Más generalmente, un álgebra de Lie semisimple que se construye a partir de $m$ álgebras de Lie simples tiene como base un invariante cuadrático de Casimir de $m$.
Ejemplo: La combinación lineal
$$alpha_L vecJ_!L^2+alpha_R vecJ_!R^2$$
es una invariante cuadrática de Casimiro del álgebra de Lie $L=sl(2,mathbbC)_Loplus sl(2,mathbbC)_R$ para constantes arbitrarias $alpha_L,alpha_Rinmathbb C$.
IV) También existen invariantes de Casimiro cúbicos y de orden superior. Para un álgebra de mentira semisimple $L$, por ejemplo,
$$C_n ~:=~ rm str(rm ad t_a_1circldotscircrm ad t_a_n) t^a_1 otimesldotsotimes t ^a_n~in~ U(B),$$
donde $rm str$ denota traza simetrizada. Sin embargo, no todos son independientes.
V) Finalmente, en respuesta al comentario de Art Brown: El teorema de Racah establece que el número de invariantes independientes de Casimir para un álgebra de Lie semisimple compleja $L$ es igual al rango del álgebra de Lie $L$.
Existen generalizaciones del teorema de Racah a álgebras de Lie no semisimples, véase, por ejemplo, BG Wybourne, Grupos clásicos para físicos, 1974, pág. 142.
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