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Solución:
La definición de incompresible a menudo no es clara y cambia según la comunidad que la utilice. Así que veamos algunas definiciones comunes:
Densidad constante
Esto significa que la densidad es constante en todas partes en el espacio y el tiempo. Entonces:
$$ frac D rho Dt = frac parcial rho parcial t + vec u cdot nabla rho = 0 $$
Debido a que la densidad es constante en todas partes en el espacio y el tiempo, la derivada temporal es cero y el gradiente espacial es cero.
Número de Mach bajo
Esto aparece cuando la velocidad del flujo es relativamente baja y, por lo tanto, todos los cambios de presión son hidrodinámicos (debido al movimiento de velocidad) en lugar de termodinámicos. El efecto de esto es que $ parcial rho / parcial p = 0 $. En otras palabras, los pequeños cambios de presión debidos a cambios en la velocidad del flujo no cambian la densidad. Esto tiene un efecto secundario: la velocidad del sonido en el fluido es $ p parcial / parcial rho = infty $ en este caso. Entonces, hay una velocidad infinita del sonido, lo que hace que las ecuaciones sean de naturaleza elíptica.
Aunque asumimos que la densidad es independiente de la presión, es posible que la densidad cambie debido a cambios de temperatura o composición si el flujo está reaccionando químicamente. Esto significa:
$$ frac D rho Dt neq 0 $$
porque $ rho $ es una función de la temperatura y la composición. Sin embargo, si el flujo no reacciona o es multicomponente, también obtendrá la misma ecuación que en el caso de densidad constante:
$$ frac D rho Dt = 0 $$
Por lo tanto, incompresible puede significar una densidad constante, o puede significar un número de Mach bajo, según la comunidad y la aplicación. Prefiero ser explícito en la diferencia porque trabajo en el mundo del flujo de reacción donde importa. Pero muchos en las comunidades de flujo que no reaccionan simplemente usan incompresible para significar densidad constante.
Ejemplo de densidad no constante
Dado que se pidió un ejemplo donde la derivada del material es cero pero la densidad no es constante, aquí va:
$$ frac D rho Dt = frac parcial rho parcial t + vec u cdot nabla rho = 0 $$
Reorganizar esto:
$$ frac parcial rho parcial t = – vec u cdot nabla rho $$
da un flujo donde $ rho neq text const. $ todavía $ D rho / Dt = 0 $. Tiene que ser un flujo inestable.
¿Existe otro ejemplo de flujo constante? En flujo constante, la derivada del tiempo es cero, por lo que tiene:
$$ vec u cdot nabla rho = 0 $$
Si la velocidad no es cero, $ vec u neq 0 $, entonces tenemos $ nabla rho = 0 $ por lo que cualquier flujo constante en movimiento sin fuerzas corporales (gravedad) o diferencias de temperatura / composición debe tener una densidad constante.
Si la velocidad es cero, puede tener un gradiente de densidad sin problemas. Piense en una columna de la atmósfera, por ejemplo: la densidad es mayor en la parte inferior que en la parte superior debido a la gravedad y no hay velocidad. Así que de nuevo $ D rho / Dt = 0 $ pero la densidad no es constante en todas partes. El desafío aquí, por supuesto, es que la ecuación de continuidad no es suficiente para describir la situación, ya que se convierte en $ 0 = 0 $. Tendría que incluir la ecuación de la cantidad de movimiento para incorporar las fuerzas de gravedad.
La definición general de un flujo incompresible es $ frac D rho Dt = 0 $ : la densidad de una partícula de fluido no cambia a lo largo de su trayectoria.
Por ejemplo, si $ overrightarrow v = v (x) overrightarrow e _ x $ y $ rho = rho (y) $ : las líneas del camino son líneas horizontales y en dicha línea, la densidad no cambia.
La condición $ rho = cst $ es un caso particular (“fluido incompresible” en lugar de “flujo incompresible”).
Pero con frecuencia, uno significa $ rho = cst $ cuando se habla de fluido incompresible!
Disculpa mi pobre ingles !
En breve
$ rho = constante $ es referido como fluido incompresible. Es una propiedad del propio fluido: ecuación de estado permite el densidad para ser asumido aproximadamente constante independientemente del caudal preciso. En términos generales, esta es una propiedad de los líquidos y es particularmente útil en hidrostática.
En un fluido en movimiento, la presión estática y la energía cinética pueden convertirse, como, por ejemplo, lo establece la ley de Bernoulli. A desvanecimiento derivado de Lagrange$ frac D rho D t = 0 $ en este contexto se denomina flujo incompresible y es una propiedad del flujo particular. Permite fluctuaciones de densidad, pero a lo largo de cualquier línea de corriente en particular, no se puede comprimir una parcela de fluido.
Si el número de Mach de un flujo es pequeño $ Más menos 0,3 $ y además la densidad no cambia por cambios de temperatura y descomposición química, la ecuación de estado de un gas perfecto conduce solo a pequeñas fluctuaciones de densidad debido a cambios de presión. Por lo tanto, para solo pequeños cambios de temperatura, se aproxima asintóticamente el comportamiento de un fluido incompresible. Esto se conoce como Aproximación del número de Mach bajo.
A menudo, las personas no distinguen incorrectamente entre los tres ya que los resultados son similares: tensor de tensión simplifica y para un fluido incompresible el La ecuación de energía se desacopla de la ecuación de momento. así como. No obstante, el aire no es un fluido incompresible, pero puede comportarse como tal en los límites de los flujos incompresibles, por ejemplo, para números de Mach bajos.
Intentaré dar una explicación más detallada.
La mayoría de los libros sobre dinámica de fluidos introducen el concepto de incompresibilidad al principio, a menudo incluso antes de derivar las ecuaciones de Navier-Stokes. Comenzaré al revés, con las ecuaciones de conservación completas, y explicaré paso a paso por qué cada una de estas simplificaciones podría ser útil.
Las ecuaciones de conservación completas
Las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos compresibles describen la conservación de la masa eqref 1, impulso eqref 2 y energía eqref 3 en un nivel continuo.
$$ frac parcial rho parcial t + suma límites_ j en mathcal D frac parcial ( rho u_j) parcial x_j = 0 etiqueta 1 etiqueta 1 $$
$$ frac parcial ( rho u_i) parcial t + suma límites_ j en mathcal D frac parcial ( rho u_i u_j) parcial x_j = suma límites_ j in mathcal D frac parcial sigma_ ij parcial x_j + rho g_i etiqueta 2 etiqueta 2 $$
$$ frac parcial ( rho e) parcial t + suma límites_ j en mathcal D frac parcial ( rho u_j e) parcial x_j = – suma límites_ j en mathcal D frac parcial q_j parcial x_j + suma límites_ i, j en mathcal D frac parcial ( sigma _ ij u_i) parcial x_j + sum límites_ j in mathcal D rho u_j g_j tag 3 label 3 $$
los energía total viene dada por la combinación de internos $ e_ in $ y energía macroscópica $ e: = e_ in + sum limits_ j in mathcal D frac u_j u_j 2 $ mientras que el local flujo de calor$ q_i $ de acuerdo a Ley de Fourier se supone que es proporcional al gradiente de temperatura
$$ q_i = – k frac parcial T parcial x_i. etiqueta 4 etiqueta 4 $$
y el tensor de tensión para un fluido newtoniano isotrópico (derivación aquí) viene dada por
$$ sigma_ ij = – p delta_ ij + underbrace 2 mu S_ ij – frac 2 3 mu sum limits_ k in mathcal D S_ kk delta_ ij _ tau_ ij etiqueta 5 etiqueta 5 $$
con el tasa de tensor de deformación
$$ S_ ij: = frac 1 2 izquierda ( frac u_i parcial x_j parcial + frac u_j parcial x_i parcial derecha). $$
Además, al suministrar un ecuación de estado que conecta presión, densidad y temperatura este sistema de ecuaciones diferenciales acopladas es cerrado.
Simplificaciones
Las ecuaciones generales de conservación son demasiado complejas para extraer información de ellas de forma analítica. Tendremos que presentar simplificaciones importantes. Lo primero que podríamos intentar hacer es derivar un sistema de ecuaciones con coeficientes constantes. La ventaja de los coeficientes constantes es la ley de similitud: Un sistema con el mismo coeficiente adimensional en las ecuaciones diferenciales que describen su comportamiento con el mismo tipo de condiciones de contorno y geometría debe tener la misma solución. Este insight nos permite reescalar parámetros de tal manera que los parámetros adimensionales de interés, que aparecen en las correspondientes ecuaciones diferenciales, no se modifiquen y realizar experimentos con modelos que nos permitan sacar conclusiones sobre sistemas de diferentes dimensiones.
Forma no conservadora
Comenzaremos recombinando las ecuaciones de conservación para derivar su forma no conservadora, lo cual es conveniente ya que nos permite ver qué términos no son constantes.
Apliquemos la regla de la cadena a la ecuación eqref 2 y luego restemos eqref 1
$$ frac u_i parcial t parcial + suma límites_ j in mathcal D u_j frac u_i parcial parcial x_j = – frac 1 rho frac parcial p parcial x_i + frac 1 rho suma límites_ j en mathcal D frac parcial tau_ ij parcial x_j + g_i. etiqueta 6 etiqueta 6 $$
Aplicando la regla de la cadena a eqref 3 y restando la ecuación eqref 1 obtenemos la forma llamada no conservadora de las ecuaciones de conservación que todavía se mantiene para todos los fluidos newtonianos.
$$ frac parcial e parcial t + suma límites_ j in mathcal D u_j frac parcial e parcial x_j = – frac 1 rho suma límites_ j in mathcal D frac parcial q_j parcial x_j + frac 1 rho sum límites_ i, j in mathcal D frac parcial ( sigma _ ij u_i) parcial x_j + sum límites_ j in mathcal D u_j g_j. etiqueta 7 etiqueta 7 $$
Ahora restamos el producto escalar de eqref 6 y la velocidad $ u_i $ y aplicar la regla de la cadena para obtener el energía mecánica
$$ frac 1 2 sum limits_ i in mathcal D frac partial (u_i u_i) parcial t + frac 1 2 sum límites_ i, j in mathcal D u_j frac parcial (u_i u_i) parcial x_j = – frac 1 rho sum límites_ i in mathcal D u_i frac parcial p parcial x_i + frac 1 rho sum limits_ i in mathcal D u_i frac parcial tau_ ij parcial x_j + suma límites_ i in mathcal D u_i g_i etiqueta 8 etiqueta 8 $$
Aplicando nuevamente la regla de la cadena a eqref 7 y restando eqref 8, la expresión
$$ frac D e_ en D t = frac parcial e_ en parcial t + suma límites_ j en mathcal D u_j frac parcial e_ en parcial x_j = – frac 1 rho suma límites_ j en mathcal D frac parcial q_j parcial x_j – frac p rho suma límites_ j in mathcal D frac parcial u_j parcial x_j + frac 1 rho suma límites_ i, j in mathcal D tau _ ij frac parcial u_j parcial x_i etiqueta 9 etiqueta 9 $$
Para el energía térmica puede ser encontrado.
Para simplificar aún más las cosas, presentaremos la entalpía específica $ h: = e_i + frac p rho $
$$ frac D h D t = frac D e_ in D t + frac 1 rho frac D p D t – frac p rho ^ 2 underbrace frac D rho D t _ frac parcial rho parcial t + sum limits_ j in mathcal D u_j frac parcial rho parcial x_j = frac D e_ in D t + frac 1 rho frac D p D t + frac p rho suma límites_ j in mathcal D frac parcial u_j parcial x_j etiqueta 10 etiqueta 10 $$
donde utilicé la ecuación eqref 1 para simplificar el último término. Finalmente combinando eqref 9 y eqref 10 terminamos con
$$ frac parcial h parcial t + suma límites_ j in mathcal D u_j frac parcial h parcial x_j = frac 1 rho izquierda ( frac p parcial t parcial + suma límites_ j en mathcal D u_j frac p parcial parcial x_j derecha) – frac 1 rho suma límites_ j in mathcal D frac parcial q_j parcial x_j + frac 1 rho suma límites_ i , j in mathcal D tau _ ij frac parcial u_j parcial x_i. etiqueta 11 etiqueta 11 $$
Ecuaciones de conservación adimensionales
Ahora, si queremos tener un coeficiente constante delante de cada término, tendremos que asumir coeficientes de transporte constantes$ k $ y $ mu $. Si lo hacemos, podemos introducir las siguientes cantidades adimensionales en las ecuaciones eqref 6, eqref 7 y eqref 11:
$$ x_i ^ * = frac x_i L, phantom abc u_i ^ * = frac u_i U, phantom abc rho ^ * = frac rho rho_0, phantom abc T ^ * = frac Delta T Delta T_0, phantom abc g_i ^ * = frac g_i g, phantom abc t ^ * = frac t frac L U, phantom abc p ^ * = frac p rho_0 U ^ 2 phantom ab $$
y además asumiendo el fluido más simple, un gas perfecto, con $ h = c_p T $, esto da como resultado las ecuaciones de conservación adimensionales
$$ frac parcial rho ^ * parcial t ^ * + suma límites_ j in mathcal D frac parcial ( rho ^ * u_j ^ *) parcial x_j ^ * = 0 $$
$$ rho ^ * frac u_i parcial ^ * t parcial ^ * + rho ^ * sum limits_ j in mathcal D u_j ^ * frac u_i parcial ^ * parciales x_j ^ * = – frac parciales p ^ * parciales x_i ^ * + frac 1 Re sum límites_ j in mathcal D frac parcial tau_ ij ^ * parcial x_j ^ * + frac 1 Viernes ^ 2 g_i ^ * $$
$$ rho ^ * frac T parcial ^ * t parcial ^ * + rho ^ * sum limits_ j in mathcal D u_j ^ * frac T parcial ^ * parcial x_j ^ * = Ec left ( frac parcial p ^ * parcial t ^ * + sum limits_ j in mathcal D u_j ^ * frac parcial p ^ * parcial x_j ^ * derecha) + frac 1 Pr Re suma límites_ j in mathcal D frac parcial parcial x_j ^ * izquierda ( frac parcial T ^ * parcial x_j ^ * derecha) + frac Ec Re suma límites_ i, j in mathcal D tau _ ij ^ * frac parcial u_i ^ * parcial x_j ^ * etiqueta 12 etiqueta 12 $$
con los correspondientes números adimensionales
$ Re: = frac UL nu phantom abc frac text fuerzas inerciales text fuerzas viscosas phantom abc $ Número de Reynolds
$ phantom abc Ec: = frac U ^ 2 c_P Delta T_0 phantom abc frac text potencial de disipación de calor text transporte advectivo phantom {abc PS Número de Eckert
$ Fr: = frac U sqrt g , L phantom abc frac text inercia de flujo text gravedad phantom abc $ Número de Froude
$ phantom abc Pr: = frac mu c_P k = frac nu a phantom abc frac text tasa de difusión viscosa text térmica tasa de difusión phantom abc $ Número de prandtl
Veamos qué más podemos simplificar supuestos especiales sobre el único parámetro de material sobrante, el densidad.
Flujo incompresible
Si asumimos que la derivada lagrangiana de la densidad se desvanecerá
$$ frac D rho D t = frac parcial rho parcial t + suma límites_ j in mathcal D u_j frac parcial rho parcial x_j = 0 etiqueta 13 etiqueta 13 $$
nos quedaríamos con una condición muy simple: eqref 1 y eqref 13 se pueden combinar para
$$ sum limits_ j in mathcal D frac parcial u_j parcial x_j = 0, $$
la llamada condición libre de divergencia. Esto significa que un la parcela de fluido no se comprime a lo largo de su camino en una línea de corriente como último término en eqref 5, la dilatación volumétrica desaparece. Esto es un propiedad del flujo y como beneficio nos quedamos con un tensor de tensión más simple.
Fluido incompresible
Un material incompresible por otro lado es una propiedad del fluido que debe ser compatible con la ecuación de estado:
$$ sum limits_ j in mathcal D frac partial rho partial x_j = 0 $$
sostiene – el densidad se supone constante en todo el campo de flujo$ rho = constante $. Como puede verse en la ecuación del estado del agua, la ecuación de Tait
$$ p – p_0 = C left[ left( fracrhorho_0 right)^m – 1 right], $$
(con $ C aproximadamente 0.32 GPa $ y $ m aproximadamente 7 $) Este es claramente el caso del agua: los grandes cambios de presión están relacionados solo con pequeños cambios en la densidad.
los el tensor de tensión es igual al de un flujo incompresible pero además la ecuación de continuidad pierde su significado ya que hay sin ecuación de estado de presión y densidad de acoplamiento ya no $ rho neq rho (p) $. los la ecuación de energía está desacoplada del sistema de ecuaciones: La ecuación de cantidad de movimiento se puede resolver de forma independiente y la temperatura se puede calcular como una simple ecuación de advección-difusión a partir del campo de velocidad resultante. A partir de las ecuaciones de conservación se pueden recuperar los gradientes de presión, pero su valor absoluto solo se puede determinar con un truco (ecuación de Poisson).
Aproximación del número de Mach bajo
Ahora, como se puede ver en eqref 12, la ecuación de energía también está desacoplada en el límite de $ Ec a 0 $. Además, uno puede hacer uso de la Número de Mach
$$ Ma: = frac U c_s phantom distancia frac text energía cinética ordenada text energía cinética aleatoria $$
y el velocidad del sonido de un gas perfecto $ c_s: = izquierda ( frac parcial p parcial rho derecha) _ S = constante = sqrt gamma R_m T $ para reescribir el número de Eckert a
$$ Ec = frac U ^ 2 c_P Delta T_0 frac c_s ^ 2 c_s ^ 2 = Ma ^ 2 ( gamma – 1) frac T_0 Delta T_0. $$
Por lo tanto, para flujos no isotérmicos $ Delta T_0 neq 0 $ los La ecuación de energía se desacoplará para números de Mach que se acerquen a cero. ya que el número de Eckert también será insignificante. De la dinámica de los gases compresibles se puede derivar la relación de densidad
$$ frac rho_0 rho = left (1 + frac gamma – 1 2 Ma ^ 2 right) ^ frac 1 gamma – 1. $$
Como se puede ver, todo flujo es algo comprimible, pero si el número de Mach es menor que $ 0.3 $ los cambios de densidad debidos a la presión son menores que $ 5 % $ (para proporciones realistas de capacidad calorífica $ 1.1 lesssim gamma lesssim 1.8 $) y el fluido puede aproximarse con buena precisión como incompresible: Debido a $ Ma = frac U c_s ll 1 $ uno puede asumir que $ c_s ^ 2 = izquierda ( frac parcial p parcial rho derecha) _S flecha derecha infty $ y por lo tanto $ izquierda ( frac parcial rho parcial p derecha) _S flecha derecha 0 $. Esto significa que esta suposición es una Aproximación asintótica de un fluido verdaderamente incompresible$ rho neq rho (p) $ (que a su vez tiene un velocidad de sonido indefinidamente grande) si descuidamos los cambios debidos a la composición química o la temperatura.
Resumen
Así que el punto de todos estos conceptos es un densidad constante en el espacio y el tiempo (fluido incompresible, aproximación del número de Mach bajo al fluido incompresible para flujos isotérmicos), tensor de tensión más simple (flujo compresible, fluido incompresible, aproximación de un número de Mach bajo a un fluido incompresible) o un desacoplamiento de la ecuación energética de la ecuación de cantidad de movimiento (fluido incompresible, aproximación del número de Mach bajo a fluido incompresible para flujos isotérmicos). Como su manifestación es bastante similar, muchos libros no los distinguen claramente y se refieren a las ecuaciones de conservación de un fluido incompresible como “ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles”.