Encontramos la solución a este atasco, al menos eso pensamos. Si sigues con interrogantes puedes dejarlo en el apartado de preguntas y con gusto te ayudaremos
Solución:
Esta es una de las definiciones más fundamentales en todo el análisis.
Dice que el incremento $Delta f:=f(a+h)-f(a)$ del valor de la función debería ser, en primera aproximación, una función lineal del incremento $h$ adjunto en el punto $a$. En otros términos: queremos
$$f(a+h)-f(a)=Lh +r(h)qquad(|h|ll1) ,tag1$$
por lo que el error $r(h)$ debiera ser más pequeño por magnitudes que el término lineal $Lh$ cuando $h$ es pequeño. Ahora en general $|Izq|$ será de orden $|h|$ para la mayoría” $h$. Esto significa que deberíamos exigir que
$$lim_hto0=0$$
con el fin de impartir cualquier contenido real a $(1)$. Resulta que esta condición determina $L$ únicamente Si se puede satisfacer entonces $f$ se llama diferenciable a $a$y uno denota la resultante $L$ por $Dfbigr|_a$o similar.
Creo que es mucho más fácil de entender si escribes la definición como “$Df_$ es el único mapa lineal $L$ (si existe) que satisface $f(x) = f(a) + L(xa) + o(||xa||)$ cuando $xrightarrow a$”.
Tal vez sea aún más claro si escribes “$Df_$ es la parte lineal del mapa afín único $A$ (si existe) que satisface $f(x) = A(x) + o(||xa| |)$ cuando $xrightarrow a$”.
Entonces puede ver que $A$ es la mejor aproximación afín posible de $f$ cerca de $a$ (porque el error que comete al reemplazar $f$ con $A$ es insignificante en comparación con cualquier mapa afín), y $Df_ $ es la parte lineal de esta aproximación afín.
La división por $|h|$ aquí es exactamente análoga a la división por $h$ en la definición de la derivada (estándar) de una función de valor real de una variable real:
$dfracdfdx=undersethrightarrow 0limdfracf(x+h)-f(x)h$
Para responder a la segunda pregunta, $Df|_a$ es lineal porque satisface la propiedad de linealidad, es decir, conmuta con la suma y la multiplicación escalar. Esta es una consecuencia de cómo se define y no es realmente difícil de probar (intente usar la definición para mostrar $Df|_a+Dg|_a=D(f+g)|_a$ y $D(alpha f) |_a=alpha Df|_a$ directamente; sugerencia, use algo de álgebra lineal)
Para responder a la pregunta final, es el análogo natural de la familiar derivada de una función $f:mathbbR rightarrow mathbbR$ para el caso de una función de $f:mathbbR^ n rightarrow mathbbR^m$.
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