Solución:
Los divisores de $ 1500 $ son los siguientes: $$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 125, 150, 250, 300 , 375, 500, 750, 1500 $$ Ahora, si desea escribir $ 1500 $ como un producto de dos números, debe elegir un número en esa lista y el otro número será forzado. Por ejemplo, puede elegir $ 300 $ y, en ese caso, se verá obligado a elegir $ 5 $. Se puede mostrar que en esta lista, debe elegir exactamente un número por encima de $ 40 $ y un número por debajo de $ 40 $. Eso significa que la cantidad de formas de escribir $ 1500 $ como un producto de dos números es exactamente igual a la cantidad de divisores que tiene por debajo de $ 40 $, que es $ 12 $.
Hay algo más de teoría detrás de esto. Por ejemplo, no es realmente $ 40 $ el número importante aquí, es $ sqrt {1500} aproximadamente 38,7 $. Dado un número $ n $ que no es cuadrado, exactamente la mitad de los divisores de $ n $ estarán por debajo de $ sqrt {n} $ y la mitad de ellos estarán por encima. Si $ n $ es un cuadrado, entonces, como veremos, hay un número impar de divisores, y luego la mitad de los divisores que no son $ sqrt {n} $ están por debajo de $ sqrt {n} $, y el resto están por encima.
Ahora, para el número de divisores, la factorización prima es una herramienta muy poderosa. Por ejemplo, $ 1500 = 2 ^ 2 cdot 3 ^ 1 cdot 5 ^ 3 $. Un número que divide $ 1500 $ no puede tener otros números primos y no puede tener ninguno de los mismos números primos para ninguna potencia superior. Eso significa que todos los divisores tienen la forma $$ 2 ^ i cdot 3 ^ j cdot 5 ^ l $$ donde $ i in {0, 1, 2 }, j in {0,1 } $ y $ l en {0, 1, 2, 3 } $. Sin embargo, dentro de estos límites, somos completamente libres, y eso mide que hay $ 3 $ valores posibles para $ i $, hay $ 2 $ valores posibles para $ j $ y hay $ 4 $ valores posibles para $ 1 $. En total, hay $ 3 cdot 2 cdot 4 = 24 $ divisores diferentes de $ 1500 $.
En general, si tenemos un número $ n $ con factorización prima $$ n = p_1 ^ {a_1} cdot p_2 ^ {a_2} cdots p_m ^ {a_m} $$, entonces cualquier divisor de $ n $ no tiene otros números primos en su factorización, y el número de factor $ p_i $ no puede exceder de $ a_i $. Por lo tanto, hay $ a_i + 1 $ valores diferentes para elegir. En total, esto significa que el número de divisores de $ n $ es $$ (a_1 + 1) (a_2 + 1) cdots (a_m + 1) $$ Si $ n $ es un cuadrado, eso significa que todos los $ a_i $ son números pares, lo que significa que este producto es un número impar. De lo contrario, hay un número par de divisores.
$ 1500 $ tiene factorización prima
$$ 2 ^ 2 cdot 3 cdot 5 ^ 3 $$
y dividirlo en dos factores equivale a enumerar un factor $ d $, ya que el otro factor coincidente es evidentemente $ 15000 / d $. Entonces, ¿de cuántas formas puede elegir un factor $ d $?
Escribe $ d = 2 ^ a cdot 3 ^ b cdot 5 ^ c $, donde $ 0 leq a leq 2,0 leq b leq 1,0 leq c leq 3 $, y no te olvides que $ d $ y $ 15000 / d $ dan el mismo par de factores.