Luego de tanto batallar pudimos hallar la respuesta de este enigma que tantos usuarios de nuestro sitio web han presentado. Si deseas aportar algún dato puedes dejar tu comentario.
Solución:
No existe una definición estándar / clásica de la curvatura gaussiana, excepto para las superficies incrustadas en $ mathbb R ^ 3 $. Creo que el patrón de exposición sobre el que pregunta el OP es en realidad solo una alusión a una suposición injustificada hecha por Riemann cuando estaba inventando lo que ahora conocemos como geometría intrínseca. Esta suposición conduce a algunas matemáticas interesantes, y vale la pena entrar en un poco más de detalle.
En los comentarios, el OP citó como ejemplo la página 88 del libro de do Carmo sobre geometría riemanniana; Lo usaré para enmarcar mi respuesta (no tengo una copia de Spivak, vol 2 a mano).
Do Carmo revisa la siguiente definición propuesta de curvatura seccional, atribuida al propio Riemann. (Tenga en cuenta que esta es la introducción al capítulo sobre curvatura, que pretende ser una motivación más que la definición oficial). $ p $ en una variedad riemanniana $ M $ y un plano tangente $ sigma $ a $ p $. Aplicar el mapa exponencial a una pequeña vecindad (exponencial) del origen en $ sigma $ para obtener un sub-colector bidimensional $ S $ de $ M $ conteniendo $ p $. Do Carmo escribe: “Dado que Gauss había demostrado que la curvatura de una superficie se puede expresar en términos de su métrica, Riemann podría hablar de la curvatura de $ S $ a $ p $… Esta fue la curvatura considerada por Riemann en [Ri]. “([Ri] siendo de Riemann “Sobre las hipótesis que se encuentran en los cimientos de la geometría”.)
Implícitamente, lo que esto significa es:
- Incrustado isométricamente $ S $ como una superficie en $ mathbb R ^ 3 $.
- Calcule la curvatura gaussiana en la imagen del punto $ p $.
- Según el Theorema Egregium de Gauss, este número no depende de la incrustación isométrica elegida y, por lo tanto, podemos definir la curvatura de $ (p, sigma) $ ser este número.
El OP se opone al paso 1, con justificación. Pero tenga en cuenta que este procedimiento no requiere la existencia de incrustaciones isométricas de variedades riemannianas bidimensionales arbitrarias en $ mathbb R ^ 3 $, solamente local incrustaciones isométricas. Esto es más fácil: por ejemplo, la pseudoesfera es localmente isométrica al plano hiperbólico.
Por supuesto, Riemann no intentó justificar rigurosamente el paso 1. “Sobre las hipótesis …” de Riemann no era un artículo matemático formal con definiciones y teoremas; era una conferencia en la que Riemann proponía la posibilidad de hacer geometría fuera de los límites. del espacio ambiental euclidiano, y cómo podría funcionar. En 1873, poco después de que se publicara la conferencia de Riemann, Schlaefli conjeturaba que todo buen riemanniano $ n $-el colector admite una incrustación isométrica local suave en el espacio de dimensión euclidiana $ frac n (n + 1) 2 $ (que incluiría el paso 1 como un caso especial), y esto fue probado por Janet y Cartan en 1926 para analítico métrica. La carcasa lisa todavía está abierta, incluso para $ n = 2 $! Todo se reduce a encontrar soluciones locales para una determinada ecuación diferencial parcial, y el problema es que el tipo de ecuación (elíptica / hiperbólica) depende del signo de la curvatura.
Entonces esa es la historia. La definición propuesta de curvatura seccional anterior no es realmente viable, pero históricamente es parte de cómo la teoría despegó. Y, por supuesto, no pasó mucho tiempo antes de que Christoffel escribiera fórmulas para la curvatura seccional que no dependen de ninguna incrustación.
Al final de las demostraciones clásicas del Theorema Egregium, terminas con un (desordenado) que expresa la curvatura de Gauss K de g en función de los coeficientes métricos y su derivada parcial (he visto esta expresión llamada fórmula de Brioschi). Esto puede tomarse como una definición de curvatura gaussiana para superficies abstractas de Riemann. Esto da una posible respuesta a su primera pregunta. Otra forma sería utilizar un coframe ortonormal y las ecuaciones de estructura de Cartan que son bastante fáciles de manejar en 2D. Sin embargo, otra forma (de alguna manera al revés) sería decir que la curvatura de Gauss es la función que hace que Gauss Bonnet local funcione.
En cuanto a cómo Riemann introdujo la curvatura seccional, hay un buen comentario de la disertación de Riemann en el volumen 2 o 3 de Spivak.
Aquí hay algunas definiciones inusuales de la curvatura gaussiana de una superficie lisa. $ newcommand bR mathbb R $$ Sigma subconjunto bR ^ N $ equipado con la métrica inducida. $ newcommand bp boldsymbol p $$ newcommand bq boldsymbol q $
Primero, una definición extrínseca.Considere la función
$$ C: bR ^ N veces bR ^ N a bR, ; ; C ( bp, bq) = ( bp, bq), $$
dónde $ (-, -) $ es el producto interno canónico en $ bR ^ N $. Fijar un punto $ bp_0 in Sigma $ y coordenadas normales $ (x ^ 1, x ^ 2) $ en un barrio $ U $ de $ bp_0 $ en $ Sigma $. La restricción de $ C $ para $ U veces U $ puede verse como una función de las cuatro variables $ (x ^ 1, x ^ 2; y ^ 1, y ^ 2) $. Entonces la curvatura gaussiana $ K ( bp_0) $ de $ Sigma $ a $ bp_0 $ es dado por
$$ K ( bp_0) = Grande ( parcial ^ 4_ x ^ 1x ^ 2y ^ 1y ^ 2 K (x, y) – parcial ^ 4_ x ^ 1x ^ 1y ^ 2y ^ 2 K ( x, y) ; Grande) grande | _ x = y = 0 $$
Esto se sigue de Theorema Egregium.
Aquí hay una definición intrínseca. Por un triángulo geodésico $ Delta subconjunto $ denotamos por $ theta ( Delta) $ la suma de sus ángulos. En el caso euclidiano $ theta ( Delta) = pi $ pero, en presencia de curvatura, el defecto$$ d ( Delta): = theta ( Delta) – pi $$
puede ser distinto de cero. Luego
$$ K ( bp_0) = lim _ Delta to bp_0 frac d ( Delta) mathrm área ( Delta), $$
donde el límite se apodera de los triángulos geodésicos colapsando $ bp_0 $. Esto se sigue del teorema (local) de Gauss-Bonnet.
En el caso más simple cuando $ Sigma $ es una esfera redonda de radio uno se puede demostrar elementalmente que para cualquier triángulo geodésico tenemos $ d ( Delta) = mathrm área ( Delta) $. Este es un resultado más antiguo de Legendre que es anterior a Gauss-Bonnet.