Contamos con tu apoyo para difundir nuestros enunciados en referencia a las ciencias informáticas.
Kevin, ten en cuenta que tu cálculo de $e$ es incorrecto: deberías tener $e=0$. De esto obtenemos el hecho de que $X_u$ y $X_v$ son ambas cosas direcciones asintóticas. Y la ecuación diferencial que tienes para las líneas de curvatura también se simplificará enormemente.
Para verificar dos veces lo que está sucediendo, debe tener en cuenta que el helicoide es una superficie mínima ($k_1+k_2=0$) y, por lo tanto, las direcciones principales bisecan las direcciones asintóticas. Por lo tanto, dado que las direcciones asintóticas son ortogonales (!), las direcciones principales estarán en el ángulo $pm pi/4$ de las direcciones asintóticas.
Intentamos generalizar todos los casos entre catenoide y helicoide.
Sea $, boldsymbol x (u,v)= cos t left( begin{arrayc cos u cosh v \ sin u cosh v \ v endarray right)+ sin t left( begin{arrayc sin u sinh v \ -cos u sinh v \ u endarray right)= Re left[ e^itleft(
beginarrayc
cos (u+vi) \
sin (u+vi) \
-i(u+vi)
endarray
right) right]
PS
Es catenoide para $t=0, pi$ y helicoide para $t=fracpi2, frac3pi2$.
Ahora $, izquierda| empezar{arrayccc E & F & G \ e & f & g \ dv^2 & -du , dv & du^2 \ endarray derecho| = izquierda| empezar{arrayccc cosh^2 v & 0 & cosh^2 v \ -cos t & sin t & cos t \ dv^2 & -du , dv & du ^2 \ endarray derecho| = 0 $.
Tenemos $left(sin t , du^2+2cos t , du , dv-sin t , dv^2right) cosh^2 v=0 ,,$ así
$ izquierda { beginarrayrcl cos fract2 du-sin fract2 dv & = & 0 \ sin fract2 du+cos frac{t 2 vd & = & 0 \ endarray Correcto. implica left { beginarrayrcl ucos fract2-vsin fract2 & = & alpha \ usin fract2+vcos fracciónt2 & = & beta \ endarray Correcto. ; $ o equivalente,
$ u+vi=expleft( frac12it right) (alpha+beta i) ,$ donde $alpha, beta$ son constantes de integración y, por lo tanto, los parámetros para las líneas de curvatura
Tenga en cuenta que $t=0$ es trivial para catenoide.