Recabamos por internet y así de esta forma regalarte la solución a tu dilema, en caso de alguna inquietud deja la inquietud y te respondemos con mucho gusto, porque estamos para servirte.
Solución:
Esto es de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 1970. Puede encontrar las preguntas aquí y la solución (bastante fácil) a esta pregunta aquí.
Fue una de las preguntas de deberes para los aspirantes al equipo británico de la OMI 1978 en Bucarest. Me las arreglé para demostrar un límite superior explícito en la proporción máxima posible de triángulos en $ n $ puntos que tiende a $ 2/3 $ como $ n $ tiende a $ infty $. No recuerdo qué era, pero no es demasiado difícil de resolver, utilizando el proceso que se describe en los siguientes párrafos.
La prueba de la pregunta más simple es la siguiente: primero demuestre geométricamente que cada conjunto de $ 4 $ (es decir, conjunto de $ 4 $ puntos) debe contener un triángulo no agudo, de modo que como máximo $ 75 $% de triángulos en un conjunto de $ 4 $ puede ser agudo. Luego argumente combinatoriamente que si ha demostrado que como máximo una proporción $ p $ de triángulos en un conjunto $ n $ puede ser aguda, se deduce que como máximo una proporción $ p $ de los triángulos en un $ (n + 1) $ -set puede ser agudo.
Así que inmediatamente obtenemos que como máximo $ 7 frac12 $ de los triángulos de $ 10 $ en un conjunto de $ 5 $ pueden ser agudos; y debido a que el número de triángulos agudos debe ser un número entero, podemos reducirlo a $ 7 $ de $ 10 $, es decir, $ 70 $%.
Pero no hay razón para detenerse ahí. El mismo proceso no gana nada al pasar a conjuntos de $ 6 $, porque $ 70 $% de $ 20 $ es un número entero; pero pasar a $ 7 $ -sets nos da $ 70 $% de $ 35 $, que es $ 24 frac12 $, que podemos reducir a $ 24 $.
Entonces podemos definir una secuencia entera $ (s_i) $ por $ s_4 = 3 $, y $ s_ i + 1 = left lfloor dfrac (i + 1) s_i i-2 right rfloor $. Esto nos da un límite superior en el número máximo posible de triángulos agudos en un conjunto $ n $. Me parece recordar que es un cúbico en $ n $, cuya forma exacta depende de $ n $ mod $ 3 $. Y la proporción $ s_n / binom n 3 $ tiende a $ 2/3 $.
Tenga en cuenta que $ s_n $ no es necesariamente los número máximo posible de triángulos agudos en un conjunto $ n $. Simplemente nos da un límite superior. De hecho, creo que este límite superior no se puede alcanzar para $ n $ suficientemente grandes (¿$ n> 6 $ quizás?). Jugué un poco con esto, pero después de todo eran $ 37 $ hace años, por lo que los detalles están borrosos.
La prueba de que para $ N geq 5 $ la fracción de triángulos agudos no puede exceder $ frac 7 10 $ implica un razonamiento geométrico solo para el caso $ N = 5 $, seguido de un razonamiento combinatorio para crear una prueba por inducción .
Partimos del Lema 1: Si existe una disposición de $ N $ puntos (con $ N> 5 $) que forman más de $ 70 % $ triángulos agudos (es decir, más de $ frac 7 60 N ( N-1) (N-2) $ triángulos agudos), entonces existe una disposición de $ N-1 $ puntos que forman más de $ 70 % $ triángulos agudos (es decir, más de $ frac 7 60 (N-3) (N-1) (N-2) $ triángulos agudos).
Prueba: Comience con un arreglo que forme el número mínimo de triángulos agudos en o por encima de $ 70 % $, a saber, $$ left lceil frac 7 60 N (N-1) (N-2) right rceil $$ triángulos agudos. Estos contienen $ 3 left lceil frac 7 60 N (N-1) (N-2) right rceil $ instancias de vértices en triángulos agudos; entonces uno de los $ N $ puntos debe participar como máximo en $ left lfloor frac 3 N left lceil frac 7 60 N (N-1) (N-2) right rceil right rfloor $ triángulos agudos. Quite ese punto; entre los puntos restantes hay al menos $$ 3 left lceil frac 7 60 N (N-1) (N-2) right rceil – left lfloor frac 3 N left lceil frac 7 60 N (N-1) (N-2) right rceil right rfloor $$ vértices restantes en triángulos agudos. Por lo tanto, hay al menos $$ left lceil frac 3 left lceil frac 7 60 N (N-1) (N-2) right rceil – left lfloor frac 3 N left lceil frac 7 60 N (N-1) (N-2) right rceil right rfloor 3 right rceil $$ triángulos agudos. Suponga el peor de los casos en cada redondeo; entonces podemos escribir esto como al menos $$ frac 7 60 (N-3) (N-1) (N-2) + 2 cdot frac 7 60 (N-1 ) (N-2) – frac 1 3 $$ que para $ N > 5 $ siempre excede $ 70 % $ de los triángulos entre los $ N-1 $ vértices.
Lema 2: Si para cualquier $ N> 5 $ puedes formar más de $ 70 % $ triángulos agudos, entonces puedes formar más de $ 70 % $ triángulos agudos (es decir, al menos 8) entre cinco vértices. Prueba: comience desde $ N $ y aplique repetidamente el lema 1.
Lema 3: Entre cinco puntos, no puede haber más de siete triángulos agudos.
La demostración comienza con la observación geométrica de que entre cuatro puntos, como máximo tres, uno de los cuatro triángulos puede ser agudo. Ahora para los cinco vértices, si puedes formar ocho triángulos agudos, entonces los dos triángulos restantes comparten 2 vértices o solo uno. Suponga que comparten dos vértices, $ A $ y $ B $, y que los terceros vértices de los triángulos están etiquetados como $ C $ y $ D $. Luego, los cuatro triángulos restantes (agudos) no contienen el vértice $ B $ y, por lo tanto, forman cuatro triángulos agudos que comparten cuatro vértices, lo cual es imposible. Si los dos triángulos no agudos comparten solo un vértice, digamos $ ABC $ y $ ADE $, entonces los cuatro triángulos que no involucran el vértice $ A $ son agudos, lo que nuevamente conduce a la misma imposibilidad.
Teorema: Para $ N> 5 $ como máximo $ 70 % $ de los triángulos formados por $ N $ puntos no colineales pueden formar triángulos agudos. Prueba: el lema 5 establece una base para el proceso inductivo implícito en el lema 2.
Observación: De hecho, entre $ 100 $ puntos no puede tener más de $ 66,675 % $ triángulos agudos (el máximo real puede ser mucho menor que eso). Esto se obtiene partiendo del supuesto de 107812 triángulos agudos e iterando el razonamiento combinatorio en el lema 1 hasta encontrar que para algún conjunto de cinco puntos debe haber al menos 8 triángulos agudos.
Esta es una variación discreta de un problema más general que ha existido por un tiempo. Aquí hay un resumen histórico muy breve, con algunos comentarios.
En 1893, Charles Dodgson, escribiendo como Lewis Carroll, publicó una colección de “Problemas de almohadas” que dijo haber reflexionado mientras estaba en la cama con insomnio. Uno de ellos era: “Se toman tres puntos al azar en un plano infinito. Encuentre la probabilidad de que sean los vértices de un triángulo $ obtuso $ -angulado”. [Ref: Carroll, L. (1893). Curiosa Mathematica, Part II: Pillow Problems. MacMillan, London.]
Este no es un problema bien planteado porque no existe una distribución uniforme en todo el plano. Su problema soluciona esta dificultad concentrándose en solo 100 puntos.
Tomando un segmento horizontal fijo como el lado más largo de un triángulo y eligiendo el tercer vértice al azar dentro de la región permitida, obtuvo la respuesta $ 3 pi / (8 pi – 6 sqrt 3) approx 0.64. $ Sin embargo, otra solución basada en tomar un segmento horizontal fijo como el segundo lado más largo conduce al resultado $ 3 pi / (2 pi + 3 sqrt 3) approx 0.82. $ Esta formulación adicional del problema ilustra que puede haber muchas soluciones dependiendo de cómo se interprete la “aleatoriedad”.
Si se considera un conjunto compacto en el plano, como un círculo, un cuadrado, un rectángulo o la circunferencia de un círculo, entonces es posible definir una distribución uniforme en ese conjunto. En la circunferencia de un círculo, el valor intuitivo 3/4 de la probabilidad es correcto. Incluso si una solución analítica a la probabilidad de un triángulo obtuso puede ser esquiva, es posible simular esta probabilidad con cualquier grado de precisión deseado.
Por ejemplo, en 1991 Ruma Falk y Ester Samuel-Cahn publicaron resultados para triángulos con vértices aleatorios dentro de un círculo (.720), un cuadrado (.725), un triángulo equilátero (.748) y en rectángulos de varias formas. Ninguno de estos resultados concuerda con ninguno de los resultados “falsos” anteriores basados en la elección de un lado fijo y un tercer punto aleatorio. [Fef: Falk, R., & Samuel-Cahn, E. (2001). Lewis Carroll’s obtuse problem. Teaching Statistics, 23(3), 72-75.]
En un artículo de 1994, Stephen Portnoy ofrece una breve historia del problema del triángulo obtuso, hace algunos comentarios sobre el concepto de aleatoriedad y propone el uso de una distribución normal multivariante no correlacionada para modelar la aleatoriedad en el plano. Bajo esta distribución, muestra analíticamente que la probabilidad de un triángulo obtuso es 3/4.
[Ref/: Portnoy, S. (1994). A Lewis Carroll pillow problem: Probability of an obtuse triangle. Statistical Science, 9(2), 279-284.]
Al escanear los resultados válidos en estos documentos, además de algunos proyectos de simulación que mis estudiantes han probado, no encuentro ningún caso con menos de la mitad de obtuso, por lo que su afirmación sobre los triángulos agudos de 100 puntos puede ser true.
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