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Solución:
La ecuacion $left(fracxharight)^2 + left( fracykbright)^2 = 1$ es la ecuación de una elipse con ejes mayor y menor paralelos a los ejes de coordenadas. Esperamos que tales elipses no cambien bajo reflexión horizontal y bajo reflexión vertical a través de sus ejes. En esta ecuación, estas reflexiones se efectúan por $x mapsto 2h – x$ y $y mapsto 2k -y$.
Esto significa que si todo lo que tiene es un punto en la elipse y las tres imágenes reflejadas de este punto, no tiene $8$ coordenadas independientes; tienes $2$ y reflejos no informativos forzados por la ecuación.
Podemos ver esto trazando dos elipses en el mismo centro (mismo $h$ y $k$), que se cruzan en $4$ puntos, con, digamos, semiejes de longitud $1$ y $2$.
Estos claramente tienen cuatro puntos de intersección. Pero tan pronto como sepa que una elipse está centrada en el origen y contiene cualquiera de los cuatro puntos de intersección, por las simetrías de reflexión de los ejes mayor y menor, contiene los cuatro. esto sigue siendo true si usa elipses genéricas, que se pueden rotar.
Recuerda que las reflexiones son a través de los ejes mayor y menor, estén donde estén.
Por supuesto, hay otras formas de que dos elipses se crucen en cuatro puntos.
Entonces, el simple hecho de saber que esos cuatro puntos están en una elipse no puede decirle cuál es el objetivo.
Volviendo al primer diagrama, correspondiente al diagrama que tienes donde los cuatro puntos conocidos son los vértices de un cuadrado… Las simetrías obligan al centro de la elipse a ser el centro del cuadrado, pero eso no es una restricción muy fuerte.
La ecuación de un elipse es:
$$ ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 $$
Por lo tanto, necesitas $5$ puntos para obtener el coeficientes: $(a,b,c,d,e,f)$, suponiendo que el centro es desconocido.
Si, por el contrario, se conoce el centro, entonces $3$ los puntos son suficientes, ya que la reflexión de cada punto con respecto al centro también es un punto de la elipse y técnicamente tienes $6$ puntos conocidos.
En este caso, asumiendo que el punto pintado de azul es el centro, los puntos que le han dado son simétrico con respecto a él y por lo tanto es como tener el centro y $2$ puntos, que es no suficiente para únicamente determinar una elipse.
Esta es exactamente la pregunta discutida hace varios meses aquí (chino). El problema central son las restricciones ocultas impuestas a la elipse.
Cuando afirmas que las elipses están determinadas por la ecuación $frac(xh)^2a^2+frac(yk)^2b^2=1$, está asumiendo implícitamente que no hay elipses ‘inclinadas’. Por ejemplo, la ecuación $x^2+y^2+xy=1$ también caracteriza una elipse, pero no está incluida en tu ecuación.
Si por ‘determinar’ quiere decir que la elipse es la única que pasa por los puntos, la respuesta es 5. Dado que dos elipses pueden intersecarse en cuatro puntos, estos 4 puntos no pueden determinar una única. Por otro lado, puede construir fácilmente la curva cuadrática única que pasa por 5 puntos dados.
Sin embargo, puede, de hecho, utilizar sólo una punto para especificar una elipse. Dado que el conjunto de todas las elipses $E$ es equipotente a $matemáticas R^5$, como se discutió anteriormente, y $matemáticas R^5$ es equipotente con $matemáticas R^2$, existe una correspondencia biunívoca entre $matemáticas R^2$ y $E$. Puedes ver una discusión formal aquí.
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